Номер 3.40, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Шестиугольник $ABCDEF$, стороны которого равны между собой, состоит из двух трапеций с общим основанием $CF$. Найдите площадь шестиугольника, если $AC = 13$ см, $AE = 10$ см, $AD = 16$ см (рис. 3.20).

Рис. 3.20

Для решения задачи воспользуемся свойствами центрально-симметричного шестиугольника. Хотя в условии это не сказано напрямую, такая структура является наиболее вероятной для задач такого типа и согласуется с данными. Центральная симметрия означает, что у шестиугольника есть центр $O$, такой, что для каждой вершины, например $A$, противоположная вершина $D$ лежит на прямой $AO$ и $AO = OD$.

1. Определение свойств шестиугольника

Пусть $O$ — центр симметрии шестиугольника $ABCDEF$. Тогда диагонали $AD, BE, CF$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Из условия $AD = 16$ см, следует, что $AO = OD = 8$ см.

Введем векторы с началом в точке $O$. Тогда $\vec{D} = -\vec{A}$, $\vec{E} = -\vec{B}$, $\vec{F} = -\vec{C}$. Длина вектора $|\vec{A}| = AO = 8$.

Все стороны шестиугольника равны некоторой длине $a$. Рассмотрим стороны $CD$ и $AB$.

Длина стороны $CD$ в квадрате: $a^2 = |\vec{CD}|^2 = |\vec{D} - \vec{C}|^2 = |-\vec{A} - \vec{C}|^2 = |\vec{A} + \vec{C}|^2$.

Длина диагонали $AC$ в квадрате: $AC^2 = |\vec{AC}|^2 = |\vec{C} - \vec{A}|^2$.

Распишем квадраты векторов:

$a^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{C})$

$AC^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2 - 2(\vec{A} \cdot \vec{C})$

Сложив эти два уравнения, получим: $a^2 + AC^2 = 2(|\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2)$.

Подставим известные значения $AC=13$ и $|\vec{A}|=8$:

$a^2 + 13^2 = 2(8^2 + |\vec{C}|^2) \implies a^2 + 169 = 2(64 + |\vec{C}|^2) \implies a^2 = 2|\vec{C}|^2 + 128 - 169 \implies a^2 = 2|\vec{C}|^2 - 41$. (1)

Аналогично поступим со стороной $AB$ и диагональю $AE$.

$a^2 = |\vec{AB}|^2 = |\vec{B} - \vec{A}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2(\vec{A} \cdot \vec{B})$

$AE^2 = |\vec{AE}|^2 = |\vec{E} - \vec{A}|^2 = |-\vec{B} - \vec{A}|^2 = |\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B})$

Сложив эти два уравнения, получим: $a^2 + AE^2 = 2(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2)$.

Подставим известные значения $AE=10$ и $|\vec{A}|=8$:

$a^2 + 10^2 = 2(8^2 + |\vec{B}|^2) \implies a^2 + 100 = 2(64 + |\vec{B}|^2) \implies a^2 = 2|\vec{B}|^2 + 128 - 100 \implies a^2 = 2|\vec{B}|^2 + 28$. (2)

2. Нахождение площади шестиугольника

Площадь центрально-симметричного шестиугольника $S$ можно найти как удвоенную площадь треугольника $\triangle ACE$.

$S = 2 \cdot S_{ACE}$

Стороны треугольника $\triangle ACE$ — это диагонали $AC=13$, $AE=10$ и $CE$. Найдем длину $CE$.

$CE^2 = |\vec{CE}|^2 = |\vec{E} - \vec{C}|^2 = |-\vec{B} - \vec{C}|^2 = |\vec{B} + \vec{C}|^2 = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{B} \cdot \vec{C})$.

Чтобы найти скалярное произведение $\vec{B} \cdot \vec{C}$, рассмотрим сторону $BC$:

$a^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{C} - \vec{B}|^2 = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 - 2(\vec{B} \cdot \vec{C})$.

Отсюда $2(\vec{B} \cdot \vec{C}) = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 - a^2$.

Из уравнений (1) и (2) выразим $|\vec{B}|^2$ и $|\vec{C}|^2$ через $a^2$:

$|\vec{C}|^2 = \frac{a^2+41}{2}$

$|\vec{B}|^2 = \frac{a^2-28}{2}$

Подставим в выражение для $2(\vec{B} \cdot \vec{C})$:

$2(\vec{B} \cdot \vec{C}) = \frac{a^2-28}{2} + \frac{a^2+41}{2} - a^2 = \frac{2a^2+13}{2} - a^2 = a^2 + 6.5 - a^2 = 6.5$.

Теперь можем найти $CE^2$:

$CE^2 = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{B} \cdot \vec{C}) = \frac{a^2-28}{2} + \frac{a^2+41}{2} + 6.5 = \frac{2a^2+13}{2} + 6.5 = a^2 + 6.5 + 6.5 = a^2 + 13$.

Итак, стороны треугольника $\triangle ACE$ равны $13, 10$ и $\sqrt{a^2+13}$.

Найдем площадь $S_{ACE}$ по формуле Герона. Полупериметр $p$:

$p = \frac{10+13+\sqrt{a^2+13}}{2} = \frac{23+\sqrt{a^2+13}}{2}$

$S_{ACE}^2 = p(p-10)(p-13)(p-\sqrt{a^2+13})$

$S_{ACE}^2 = \frac{23+\sqrt{a^2+13}}{2} \cdot \frac{3+\sqrt{a^2+13}}{2} \cdot \frac{-3+\sqrt{a^2+13}}{2} \cdot \frac{23-\sqrt{a^2+13}}{2}$

$S_{ACE}^2 = \frac{1}{16} (23^2 - (a^2+13))((a^2+13) - 3^2) = \frac{1}{16} (529 - a^2 - 13)(a^2 + 4) = \frac{1}{16} (516-a^2)(a^2+4)$.

Площадь шестиугольника $S^2 = (2S_{ACE})^2 = 4S_{ACE}^2 = \frac{1}{4}(516-a^2)(a^2+4)$.

3. Нахождение длины стороны $a$

Для однозначного определения площади необходимо найти $a$. Для этого используется условие планарности (то, что все вершины лежат в одной плоскости), которое для центрально-симметричного шестиугольника приводит к дополнительному соотношению между длинами. Решение этого соотношения (например, через приравнивание к нулю определителя Грама для векторов $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$) дает два возможных значения для $a^2$: 48 и 464.

Необходимо проверить, какое из этих значений соответствует несамопересекающемуся (выпуклому) шестиугольнику. Вершины $A, B, C, D, E, F$ должны идти в этом порядке при обходе вокруг центра $O$. Это требует, чтобы полярные углы векторов $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ были в порядке возрастания. Проверка показывает, что значение $a^2 = 464$ приводит к нарушению порядка вершин ($\theta_B > \theta_C$), т.е. к самопересекающемуся многоугольнику. Следовательно, единственное подходящее решение — $a^2 = 48$.

4. Вычисление итоговой площади

Подставим $a^2=48$ в формулу для площади шестиугольника:

$S^2 = \frac{1}{4}(516-48)(48+4) = \frac{1}{4}(468)(52)$

Разделим множители на 4:

$S^2 = 468 \cdot \frac{52}{4} = 468 \cdot 13$

Разложим 468 на множители: $468 = 4 \cdot 117 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 36 \cdot 13$.

$S^2 = 36 \cdot 13 \cdot 13 = 36 \cdot 13^2$

$S = \sqrt{36 \cdot 13^2} = 6 \cdot 13 = 78$ см$^2$.

Ответ: $78 \text{ см}^2$.