Номер 3.34, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной, равной $a$.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. По условию, длина каждой стороны равна $a$. Все углы в таком треугольнике равны $60^\circ$. Для нахождения площади можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Через основание и высоту
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота. В равностороннем треугольнике в качестве основания можно взять любую сторону, то есть $b = a$. Высота, проведенная к этой стороне, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Гипотенуза такого прямоугольного треугольника равна $a$, а один из катетов равен половине основания, то есть $\frac{a}{2}$. Второй катет — это высота $h$. По теореме Пифагора находим высоту:
$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Теперь можно вычислить площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Способ 2: Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin(\alpha)$, где $x$ и $y$ — две стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В равностороннем треугольнике $x = a$, $y = a$ и $\alpha = 60^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(60^\circ)$
Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$