Страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей – 12 см. Найдите высоту и диагональ ромба.

Нахождение второй диагонали

По условию, сторона ромба $a = 10$ см, а одна из его диагоналей $d_1 = 12$ см. Диагонали ромба обладают свойством пересекаться под прямым углом и делиться точкой пересечения пополам. Таким образом, ромб делится на четыре равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих треугольников гипотенузой является сторона ромба ($a=10$ см), а катетами — половины его диагоналей. Длина половины известной диагонали составляет $\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. Обозначим половину искомой диагонали как $\frac{d_2}{2}$.

Применим теорему Пифагора к одному из таких треугольников:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения в формулу:

$6^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2$

$36 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100$

Найдем квадрат половины второй диагонали:

$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 36 = 64$

Теперь найдем длину половины второй диагонали:

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Следовательно, полная длина второй диагонали $d_2$ равна удвоенной длине ее половины:

$d_2 = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: вторая диагональ ромба равна 16 см.

Нахождение высоты

Площадь ромба ($S$) можно вычислить двумя способами. Приравняв их, можно найти высоту.

1. Формула площади через диагонали: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

2. Формула площади через сторону и высоту: $S = a \cdot h$

Сначала вычислим площадь ромба, используя длины обеих диагоналей ($d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см):

$S = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96$ см$^2$.

Теперь, зная площадь ($S = 96$ см$^2$) и длину стороны ромба ($a=10$ см), найдем его высоту $h$ из второй формулы:

$S = a \cdot h$

$96 = 10 \cdot h$

$h = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Ответ: высота ромба равна 9,6 см.

3.31. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны:

1) 3,2 см и 14 см;

2) 4,6 м и 2 м.

Для нахождения площади ромба используется формула, связывающая площадь с длинами его диагоналей. Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей ($d_1$ и $d_2$).

Формула для расчета:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Применим эту формулу для решения обоих подпунктов задачи.

1)

Даны диагонали ромба: $d_1 = 3,2$ см и $d_2 = 14$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:

$S = \frac{3,2 \text{ см} \cdot 14 \text{ см}}{2}$

Сначала вычислим произведение диагоналей:

$3,2 \cdot 14 = 44,8$

Теперь разделим результат на 2, чтобы найти площадь:

$S = \frac{44,8}{2} = 22,4 \text{ см}^2$

Ответ: $22,4 \text{ см}^2$.

2)

Даны диагонали ромба: $d_1 = 4,6$ м и $d_2 = 2$ м.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:

$S = \frac{4,6 \text{ м} \cdot 2 \text{ м}}{2}$

В этом выражении можно сократить множитель 2 в числителе и знаменателе:

$S = 4,6 \text{ м}^2$

Ответ: $4,6 \text{ м}^2$.

3.32. Одна из диагоналей ромба в 1,5 раза больше другой, а его площадь равна 27 $ \text{см}^2 $. Найдите диагонали ромба.

Пусть меньшая диагональ ромба равна $x$ см.

Согласно условию задачи, другая диагональ в 1,5 раза больше, следовательно, ее длина составляет $1.5x$ см.

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле как половина произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Известно, что площадь ромба равна 27 см². Подставим наши значения в формулу:

$27 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (1.5x)$

Теперь решим полученное уравнение:

$27 = \frac{1.5}{2} x^2$

$27 = 0.75 x^2$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 0,75:

$x^2 = \frac{27}{0.75}$

$x^2 = 36$

Найдем $x$, извлекая квадратный корень. Так как длина диагонали является положительной величиной, мы берем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{36} = 6$

Итак, мы нашли длину меньшей диагонали: она равна 6 см.

Теперь найдем длину большей диагонали:

$1.5x = 1.5 \cdot 6 = 9$ см.

Таким образом, диагонали ромба равны 6 см и 9 см.

Ответ: 6 см и 9 см.

3.33. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 16 см, сторона $BC$ - 22 см, а высота, проведенная из вершины $C$, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади треугольника. Площадь ($S$) треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}$.

В треугольнике $ABC$ даны:
- сторона $AB = 16$ см.
- сторона $BC = 22$ см.
- высота, проведенная из вершины $C$ (обозначим ее $h_c$), равна 11 см. Эта высота проведена к стороне $AB$.
- требуется найти высоту, проведенную к стороне $BC$. Эта высота проведена из вершины $A$ (обозначим ее $h_a$).

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами, используя известные стороны и соответствующие им высоты:
1) $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c$
2) $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a$

Поскольку площадь треугольника не зависит от способа вычисления, приравняем правые части этих двух формул: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a$.
Умножив обе части на 2, получим: $AB \cdot h_c = BC \cdot h_a$.

Теперь подставим известные значения и решим уравнение относительно $h_a$:
$16 \cdot 11 = 22 \cdot h_a$
$176 = 22 \cdot h_a$
$h_a = \frac{176}{22}$
$h_a = 8$ см.

Ответ: 8 см.

3.34. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной, равной $a$.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. По условию, длина каждой стороны равна $a$. Все углы в таком треугольнике равны $60^\circ$. Для нахождения площади можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Через основание и высоту
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — основание, а $h$ — высота. В равностороннем треугольнике в качестве основания можно взять любую сторону, то есть $b = a$. Высота, проведенная к этой стороне, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Гипотенуза такого прямоугольного треугольника равна $a$, а один из катетов равен половине основания, то есть $\frac{a}{2}$. Второй катет — это высота $h$. По теореме Пифагора находим высоту:
$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Теперь можно вычислить площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Способ 2: Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin(\alpha)$, где $x$ и $y$ — две стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В равностороннем треугольнике $x = a$, $y = a$ и $\alpha = 60^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(60^\circ)$
Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

3.35. Найдите площадь треугольника, если его сторона равна $a$, а прилежащие к ней углы – $\alpha$ и $\beta$.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $a$, а прилежащие к ней углы равны $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле:
$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Примем сторону $AB$ за основание. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Обозначим длину высоты $CH$ как $h$. Тогда площадь треугольника равна:
$S = \frac{1}{2} a h$.

Теперь необходимо выразить высоту $h$ через известные величины $a$, $\alpha$ и $\beta$. Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$. В этих треугольниках:
$\angle CAH = \angle A = \alpha$
$\angle CBH = \angle B = \beta$

Основание $AB$ равно сумме отрезков $AH$ и $BH$: $a = AH + BH$. Из прямоугольного треугольника $ACH$ выразим катет $AH$ через другой катет $CH=h$ и угол $\alpha$:
$\text{tg}(\alpha) = \frac{CH}{AH} = \frac{h}{AH} \implies AH = \frac{h}{\text{tg}(\alpha)} = h \cdot \text{ctg}(\alpha)$.
Аналогично из прямоугольного треугольника $BCH$ выразим катет $BH$ через катет $CH=h$ и угол $\beta$:
$\text{tg}(\beta) = \frac{CH}{BH} = \frac{h}{BH} \implies BH = \frac{h}{\text{tg}(\beta)} = h \cdot \text{ctg}(\beta)$.

Подставим выражения для $AH$ и $BH$ в равенство $a = AH + BH$:
$a = h \cdot \text{ctg}(\alpha) + h \cdot \text{ctg}(\beta)$
Вынесем $h$ за скобки:
$a = h (\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta))$

Отсюда выразим высоту $h$:
$h = \frac{a}{\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta)}$

Для упрощения выражения в знаменателе воспользуемся тригонометрическими тождествами. Запишем котангенсы через синусы и косинусы и приведем к общему знаменателю:
$\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} = \frac{\cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}$
Числитель полученной дроби является формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.
Таким образом:
$\text{ctg}(\alpha) + \text{ctg}(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}$

Подставим это упрощенное выражение в формулу для $h$:
$h = \frac{a}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}} = \frac{a \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь, когда мы выразили высоту $h$ через известные параметры, подставим ее в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \left( \frac{a \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \right)$

В итоге получаем окончательную формулу для площади:
$S = \frac{a^2 \sin(\alpha)\sin(\beta)}{2\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{a^2 \sin(\alpha)\sin(\beta)}{2\sin(\alpha + \beta)}$

3.36. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей (рис. 3.19).

Рис. 3.19

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Требуется доказать, что его площадь $S$ равна половине произведения длин диагоналей: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $AC$: треугольника $\triangle ABC$ и треугольника $\triangle ADC$.

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Примем за его основание диагональ $AC$. Поскольку по условию $BD \perp AC$, отрезок $BO$ является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к основанию $AC$.

Таким образом, площадь треугольника $\triangle ABC$ равна:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO$

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Примем за его основание также диагональ $AC$. Так как $BD \perp AC$, отрезок $DO$ является высотой треугольника $\triangle ADC$, проведенной к основанию $AC$.

Площадь треугольника $\triangle ADC$ равна:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$

Теперь сложим площади этих двух треугольников, чтобы найти площадь всего четырехугольника:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot AC$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (BO + DO)$

Так как точка $O$ является точкой пересечения диагоналей, она лежит на отрезке $BD$. Следовательно, сумма длин отрезков $BO$ и $DO$ равна длине всей диагонали $BD$:

$BO + DO = BD$

Подставим это выражение в формулу для площади четырехугольника:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Рис. 3.

3.37. Параллельные стороны трапеции равны 60 см и 20 см, а боковые – 13 см и 37 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, и боковыми сторонами $c$ и $d$. По условию, $a = 60$ см, $b = 20$ см, $c = 13$ см, $d = 37$ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ – высота трапеции.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся дополнительным построением. Проведем из вершины меньшего основания прямую, параллельную одной из боковых сторон, до пересечения с большим основанием.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где $AD$ и $BC$ – основания. $AD = 60$, $BC = 20$, $AB = 13$, $CD = 37$. Проведем из вершины C прямую $CE$, параллельную боковой стороне $AB$, так что точка $E$ лежит на основании $AD$. В результате образуется параллелограмм $ABCE$ и треугольник $CDE$.

В параллелограмме $ABCE$ противоположные стороны равны, поэтому $AE = BC = 20$ см и $CE = AB = 13$ см.

Рассмотрим треугольник $CDE$. Длины его сторон:

• $CD = 37$ см (по условию).
• $CE = 13$ см (как показано выше).
• $ED = AD - AE = 60 - 20 = 40$ см.

Высота трапеции $h$ совпадает с высотой треугольника $CDE$, проведенной из вершины $C$ к основанию $ED$. Найдем площадь треугольника $CDE$ по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ – полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ – стороны треугольника.

Вычислим полупериметр $p$ треугольника $CDE$: $p = \frac{37 + 13 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $CDE$: $S_{CDE} = \sqrt{45(45-37)(45-13)(45-40)} = \sqrt{45 \cdot 8 \cdot 32 \cdot 5} = \sqrt{57600} = 240$ см².

Площадь треугольника также можно вычислить по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h$. Отсюда можем выразить высоту $h$: $h = \frac{2 \cdot S_{CDE}}{ED} = \frac{2 \cdot 240}{40} = \frac{480}{40} = 12$ см.

Мы нашли высоту трапеции, $h = 12$ см. Теперь можем вычислить ее площадь: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{60+20}{2} \cdot 12 = \frac{80}{2} \cdot 12 = 40 \cdot 12 = 480$ см².

Ответ: 480 см².

3.38. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой каждая из двух меньших смежных сторон равна 6 см, а наибольший угол – $135^\circ$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $ABCD$, где $AB$ и $DC$ являются основаниями, причем $AB \parallel DC$, а $AD$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Следовательно, $AD$ является высотой трапеции, а углы $\angle A$ и $\angle D$ — прямые, то есть $\angle A = \angle D = 90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $BC$, равна $180^\circ$, то есть $\angle B + \angle C = 180^\circ$. По условию, наибольший угол трапеции равен $135^\circ$. Так как два угла равны $90^\circ$, то один из углов $B$ или $C$ равен $135^\circ$, а другой, соответственно, $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. В такой трапеции угол при меньшем основании ($B$) будет тупым, а угол при большем основании ($C$) — острым. Таким образом, $\angle B = 135^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $DC$. Получим прямоугольник $ABHD$ и прямоугольный треугольник $BHC$.Обозначим длину меньшего основания $AB$ как $a$, а высоту $AD$ как $h$. Тогда $BH = AD = h$ и $DH = AB = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем:$\angle BHC = 90^\circ$ (так как $BH$ — высота).$\angle C = 45^\circ$ (как мы установили ранее).Следовательно, третий угол треугольника $\angle HBC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.Поскольку два угла в треугольнике $BHC$ равны, он является равнобедренным, и катеты $BH$ и $HC$ равны: $HC = BH = h$.

Теперь выразим все стороны трапеции через $a$ и $h$:Меньшее основание $AB = a$.Высота $AD = h$.Большее основание $DC = DH + HC = a + h$.Наклонная боковая сторона $BC$ находится по теореме Пифагора из треугольника $BHC$: $BC^2 = BH^2 + HC^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$, откуда $BC = h\sqrt{2}$.

Итак, стороны трапеции равны $a, h, a+h$ и $h\sqrt{2}$.По условию, две меньшие смежные стороны равны 6 см. Сравним длины сторон. Так как $a>0$ и $h>0$, то сторона $a+h$ больше, чем $a$ и $h$. Также сторона $h\sqrt{2} \approx 1.414h$ больше, чем $h$. Следовательно, две самые короткие стороны — это $a$ и $h$. Эти стороны (меньшее основание $AB$ и высота $AD$) являются смежными.Таким образом, из условия задачи следует, что $a=6$ см и $h=6$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые для расчета площади величины:Меньшее основание $a = 6$ см.Большее основание $b = DC = a + h = 6 + 6 = 12$ см.Высота $h = 6$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставляя найденные значения, получаем:$S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ см².

Решение
Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$. Два угла трапеции равны $90^\circ$. Наибольший угол равен $135^\circ$. Тогда четвертый угол равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Проведя вторую высоту, мы получим прямоугольник и прямоугольный треугольник с острыми углами $45^\circ$ и $45^\circ$. Этот треугольник является равнобедренным, его катеты равны. Один из катетов — это высота трапеции $h$, а другой — разность оснований $b-a$. Таким образом, $b-a=h$.Стороны трапеции: $a$, $b=a+h$, $h$, и наклонная сторона $c = \sqrt{h^2+(b-a)^2} = \sqrt{h^2+h^2} = h\sqrt{2}$.Две меньшие смежные стороны — это меньшее основание $a$ и высота $h$. По условию, $a=h=6$ см.Тогда большее основание $b = a+h = 6+6=12$ см.Площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2}h = \frac{6+12}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ см².
Ответ: $54$ см².

3.39. Постройте:
1) параллелограмм;
2) прямоугольник, равносоставленные с данной равнобокой трапецией.

В основе решения лежит тот факт, что две фигуры называются равносоставленными, если одну из них можно разрезать на конечное число многоугольников и сложить из них вторую фигуру. Согласно теореме Бойаи-Гервина, это возможно тогда и только тогда, когда фигуры имеют одинаковую площадь. Мы покажем, как с помощью разрезания и перестановки частей преобразовать данную равнобокую трапецию в параллелограмм и прямоугольник.

Общая стратегия для обоих пунктов состоит из двух этапов:

1. Преобразование данной трапеции в равновеликий (и равносоставленный) треугольник.
2. Преобразование полученного треугольника в требуемую фигуру (параллелограмм или прямоугольник).

Этап 1: Преобразование трапеции в треугольник

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и высотой $h$. Площадь трапеции равна $S = \frac{AD+BC}{2}h$.

1. На боковой стороне $CD$ выберем середину — точку $M$.
2. Проведем разрез по отрезку $BM$. Трапеция разделится на две части: четырехугольник $ABMD$ и треугольник $BCM$.
3. Повернем треугольник $BCM$ на $180^\circ$ вокруг точки $M$. При этом повороте:
   • Точка $M$ останется на месте.
   • Точка $C$ перейдет в точку $D$, так как $M$ — середина $CD$.
   • Точка $B$ перейдет в некоторую новую точку $E$.
4. Отрезок $BC$ перейдет в отрезок $ED$. Так как при повороте отрезок переходит в равный и параллельный ему, то $ED = BC$ и прямая $ED$ параллельна прямой $BC$.
5. Поскольку основание $BC$ было параллельно основанию $AD$, то прямая $ED$ будет параллельна прямой $AD$. Так как они обе проходят через точку $D$, они лежат на одной прямой. Таким образом, точки $A, D, E$ лежат на одной прямой.
6. Новая фигура — это треугольник $ABE$. Его основание $AE = AD + DE = AD + BC$. Его высота совпадает с высотой трапеции $h$.
7. Площадь треугольника $ABE$ равна $\frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{AD+BC}{2}h$, что в точности равно площади исходной трапеции $ABCD$.

Таким образом, мы построили треугольник $ABE$, равносоставленный с данной трапецией $ABCD$. Теперь будем работать с этим треугольником.

1) Постройте параллелограмм

Используя полученный на первом этапе треугольник $ABE$, построим равносоставленный с ним параллелограмм.

1. Возьмем треугольник $ABE$, где основание $AE = AD+BC$, а высота равна $h$.
2. Найдем середину стороны $AB$ — точку $P$, и середину стороны $BE$ — точку $Q$.
3. Проведем разрез по отрезку $PQ$. Этот отрезок является средней линией треугольника $ABE$, поэтому $PQ \parallel AE$ и $PQ = \frac{1}{2}AE$.
4. Отрежем верхний маленький треугольник $PBQ$.
5. Повернем треугольник $PBQ$ на $180^\circ$ вокруг точки $Q$. При этом повороте:
   • Точка $Q$ останется на месте.
   • Точка $B$ перейдет в точку $E$, так как $Q$ — середина $BE$.
   • Точка $P$ перейдет в некоторую новую точку $P'$.
6. Приставим повернутый треугольник $P'EQ$ к оставшейся части (трапеции $APQE$) так, чтобы сторона $EQ$ повернутого треугольника совпала со стороной $BQ$ трапеции $APQE$.
7. В результате получится четырехугольник $APP'E$. Докажем, что это параллелограмм. Сторона $AE$ параллельна $PQ$, а значит и $P'Q$ (так как $P, Q, P'$ лежат на одной прямой). Следовательно, $AE \parallel PP'$. Также $AP$ (часть стороны $AB$) параллельна $EP'$ (часть повернутой стороны $PB$). Таким образом, $APP'E$ — параллелограмм.

Этот параллелограмм состоит из тех же частей, что и исходная трапеция, следовательно, он ей равносоставлен.

Ответ: Искомый параллелограмм строится путем преобразования трапеции в равновеликий треугольник, который затем разрезается по средней линии и перекладывается в параллелограмм.

2) Постройте прямоугольник

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Для его построения также воспользуемся треугольником $ABE$, полученным на первом этапе.

1. Возьмем треугольник $ABE$ с основанием $AE$ и высотой $h$, проведенной из вершины $B$ к основанию $AE$.
2. Найдем середину высоты $h$ — точку $F$.
3. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную основанию $AE$. Эта прямая пересечет стороны $AB$ и $BE$ в точках $G$ и $H$ соответственно.
4. Разрежем треугольник $ABE$ по отрезку $GH$. Отрежем верхний треугольник $GBH$.
5. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр $BF$ на прямую $GH$. Этот перпендикуляр разделит треугольник $GBH$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle GFB$ и $\triangle HFB$.
6. Переместим эти два маленьких треугольника. Приставим $\triangle GFB$ к трапеции $AGFE$ так, чтобы катет $GF$ совпал с отрезком $AG$ с внешней стороны. Приставим $\triangle HFB$ к трапеции $GHE$ так, чтобы катет $HF$ совпал с отрезком $HE$ с внешней стороны.
7. В результате этих перемещений получится новая фигура — прямоугольник. Его высота будет равна $\frac{h}{2}$, а длина будет равна основанию треугольника $AE$, то есть $AD+BC$.

Площадь полученного прямоугольника равна $(AD+BC) \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD+BC}{2}h$, что равно площади исходной трапеции. Фигура составлена из тех же частей, что и трапеция.

Ответ: Искомый прямоугольник строится путем преобразования трапеции в равновеликий треугольник, который затем разрезается на три части и складывается в прямоугольник.

3.40. Шестиугольник $ABCDEF$, стороны которого равны между собой, состоит из двух трапеций с общим основанием $CF$. Найдите площадь шестиугольника, если $AC = 13$ см, $AE = 10$ см, $AD = 16$ см (рис. 3.20).

Рис. 3.20

Для решения задачи воспользуемся свойствами центрально-симметричного шестиугольника. Хотя в условии это не сказано напрямую, такая структура является наиболее вероятной для задач такого типа и согласуется с данными. Центральная симметрия означает, что у шестиугольника есть центр $O$, такой, что для каждой вершины, например $A$, противоположная вершина $D$ лежит на прямой $AO$ и $AO = OD$.

1. Определение свойств шестиугольника

Пусть $O$ — центр симметрии шестиугольника $ABCDEF$. Тогда диагонали $AD, BE, CF$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Из условия $AD = 16$ см, следует, что $AO = OD = 8$ см.

Введем векторы с началом в точке $O$. Тогда $\vec{D} = -\vec{A}$, $\vec{E} = -\vec{B}$, $\vec{F} = -\vec{C}$. Длина вектора $|\vec{A}| = AO = 8$.

Все стороны шестиугольника равны некоторой длине $a$. Рассмотрим стороны $CD$ и $AB$.

Длина стороны $CD$ в квадрате: $a^2 = |\vec{CD}|^2 = |\vec{D} - \vec{C}|^2 = |-\vec{A} - \vec{C}|^2 = |\vec{A} + \vec{C}|^2$.

Длина диагонали $AC$ в квадрате: $AC^2 = |\vec{AC}|^2 = |\vec{C} - \vec{A}|^2$.

Распишем квадраты векторов:

$a^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{C})$

$AC^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2 - 2(\vec{A} \cdot \vec{C})$

Сложив эти два уравнения, получим: $a^2 + AC^2 = 2(|\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2)$.

Подставим известные значения $AC=13$ и $|\vec{A}|=8$:

$a^2 + 13^2 = 2(8^2 + |\vec{C}|^2) \implies a^2 + 169 = 2(64 + |\vec{C}|^2) \implies a^2 = 2|\vec{C}|^2 + 128 - 169 \implies a^2 = 2|\vec{C}|^2 - 41$. (1)

Аналогично поступим со стороной $AB$ и диагональю $AE$.

$a^2 = |\vec{AB}|^2 = |\vec{B} - \vec{A}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2(\vec{A} \cdot \vec{B})$

$AE^2 = |\vec{AE}|^2 = |\vec{E} - \vec{A}|^2 = |-\vec{B} - \vec{A}|^2 = |\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B})$

Сложив эти два уравнения, получим: $a^2 + AE^2 = 2(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2)$.

Подставим известные значения $AE=10$ и $|\vec{A}|=8$:

$a^2 + 10^2 = 2(8^2 + |\vec{B}|^2) \implies a^2 + 100 = 2(64 + |\vec{B}|^2) \implies a^2 = 2|\vec{B}|^2 + 128 - 100 \implies a^2 = 2|\vec{B}|^2 + 28$. (2)

2. Нахождение площади шестиугольника

Площадь центрально-симметричного шестиугольника $S$ можно найти как удвоенную площадь треугольника $\triangle ACE$.

$S = 2 \cdot S_{ACE}$

Стороны треугольника $\triangle ACE$ — это диагонали $AC=13$, $AE=10$ и $CE$. Найдем длину $CE$.

$CE^2 = |\vec{CE}|^2 = |\vec{E} - \vec{C}|^2 = |-\vec{B} - \vec{C}|^2 = |\vec{B} + \vec{C}|^2 = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{B} \cdot \vec{C})$.

Чтобы найти скалярное произведение $\vec{B} \cdot \vec{C}$, рассмотрим сторону $BC$:

$a^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{C} - \vec{B}|^2 = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 - 2(\vec{B} \cdot \vec{C})$.

Отсюда $2(\vec{B} \cdot \vec{C}) = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 - a^2$.

Из уравнений (1) и (2) выразим $|\vec{B}|^2$ и $|\vec{C}|^2$ через $a^2$:

$|\vec{C}|^2 = \frac{a^2+41}{2}$

$|\vec{B}|^2 = \frac{a^2-28}{2}$

Подставим в выражение для $2(\vec{B} \cdot \vec{C})$:

$2(\vec{B} \cdot \vec{C}) = \frac{a^2-28}{2} + \frac{a^2+41}{2} - a^2 = \frac{2a^2+13}{2} - a^2 = a^2 + 6.5 - a^2 = 6.5$.

Теперь можем найти $CE^2$:

$CE^2 = |\vec{B}|^2 + |\vec{C}|^2 + 2(\vec{B} \cdot \vec{C}) = \frac{a^2-28}{2} + \frac{a^2+41}{2} + 6.5 = \frac{2a^2+13}{2} + 6.5 = a^2 + 6.5 + 6.5 = a^2 + 13$.

Итак, стороны треугольника $\triangle ACE$ равны $13, 10$ и $\sqrt{a^2+13}$.

Найдем площадь $S_{ACE}$ по формуле Герона. Полупериметр $p$:

$p = \frac{10+13+\sqrt{a^2+13}}{2} = \frac{23+\sqrt{a^2+13}}{2}$

$S_{ACE}^2 = p(p-10)(p-13)(p-\sqrt{a^2+13})$

$S_{ACE}^2 = \frac{23+\sqrt{a^2+13}}{2} \cdot \frac{3+\sqrt{a^2+13}}{2} \cdot \frac{-3+\sqrt{a^2+13}}{2} \cdot \frac{23-\sqrt{a^2+13}}{2}$

$S_{ACE}^2 = \frac{1}{16} (23^2 - (a^2+13))((a^2+13) - 3^2) = \frac{1}{16} (529 - a^2 - 13)(a^2 + 4) = \frac{1}{16} (516-a^2)(a^2+4)$.

Площадь шестиугольника $S^2 = (2S_{ACE})^2 = 4S_{ACE}^2 = \frac{1}{4}(516-a^2)(a^2+4)$.

3. Нахождение длины стороны $a$

Для однозначного определения площади необходимо найти $a$. Для этого используется условие планарности (то, что все вершины лежат в одной плоскости), которое для центрально-симметричного шестиугольника приводит к дополнительному соотношению между длинами. Решение этого соотношения (например, через приравнивание к нулю определителя Грама для векторов $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$) дает два возможных значения для $a^2$: 48 и 464.

Необходимо проверить, какое из этих значений соответствует несамопересекающемуся (выпуклому) шестиугольнику. Вершины $A, B, C, D, E, F$ должны идти в этом порядке при обходе вокруг центра $O$. Это требует, чтобы полярные углы векторов $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ были в порядке возрастания. Проверка показывает, что значение $a^2 = 464$ приводит к нарушению порядка вершин ($\theta_B > \theta_C$), т.е. к самопересекающемуся многоугольнику. Следовательно, единственное подходящее решение — $a^2 = 48$.

4. Вычисление итоговой площади

Подставим $a^2=48$ в формулу для площади шестиугольника:

$S^2 = \frac{1}{4}(516-48)(48+4) = \frac{1}{4}(468)(52)$

Разделим множители на 4:

$S^2 = 468 \cdot \frac{52}{4} = 468 \cdot 13$

Разложим 468 на множители: $468 = 4 \cdot 117 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 36 \cdot 13$.

$S^2 = 36 \cdot 13 \cdot 13 = 36 \cdot 13^2$

$S = \sqrt{36 \cdot 13^2} = 6 \cdot 13 = 78$ см$^2$.

Ответ: $78 \text{ см}^2$.

3.41. Найдите площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной, равной $a$.

Решение:

Пусть дан правильный (равносторонний) треугольник со стороной a. В него вписан квадрат таким образом, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Обозначим сторону квадрата как x. Площадь квадрата S будет равна $x^2$.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной a и вписанный в него квадрат DEFG, где сторона DG лежит на основании BC. Вершина E лежит на стороне AC, а вершина F — на стороне AB.

Проведем высоту AM из вершины A на основание BC. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле: $h = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку сторона квадрата EF параллельна основанию BC, то треугольник AFE, который отсекается этой стороной, подобен исходному треугольнику ABC.

Высота треугольника AFE, проведенная из вершины A, будет равна разности высоты всего треугольника AM и высоты квадрата (которая равна его стороне x). Обозначим точку пересечения AM и EF как N. Тогда высота треугольника AFE равна $AN = AM - NM = h - x$. $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2} - x$

Из подобия треугольников AFE и ABC следует, что отношение их высот равно отношению их оснований: $\frac{AN}{AM} = \frac{EF}{BC}$

Подставим известные значения в это соотношение. Основание EF малого треугольника равно стороне квадрата x, а основание BC большого треугольника равно a. $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} - x}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{a}$

Решим это уравнение для нахождения x. $a \cdot \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - x \right) = x \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части на a (так как $a \ne 0$): $\frac{a\sqrt{3}}{2} - x = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Перенесем все слагаемые с x в правую часть: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Вынесем x за скобки: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = x \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ $\frac{a\sqrt{3}}{2} = x \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \right)$

Умножим обе части на 2 и выразим x: $a\sqrt{3} = x(2 + \sqrt{3})$ $x = \frac{a\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь квадрата $S = x^2$: $S = \left( \frac{a\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \right)^2 = \frac{(a\sqrt{3})^2}{(2 + \sqrt{3})^2} = \frac{3a^2}{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \frac{3a^2}{7 + 4\sqrt{3}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7 - 4\sqrt{3})$: $S = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{3a^2(7 - 4\sqrt{3})}{49 - 48} = 3a^2(7 - 4\sqrt{3})$

Таким образом, искомая площадь квадрата равна $a^2(21 - 12\sqrt{3})$ или $3a^2(7 - 4\sqrt{3})$.

Ответ: $S = 3a^2(7 - 4\sqrt{3})$

3.42. Найдите площадь прямоугольного треугольника, сумма катетов которого равна $l$, а высота, проведенная из вершины прямого угла, равна $h$.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Площадь треугольника обозначим как $S$.

Согласно условию задачи, нам даны:

• Сумма катетов: $a + b = l$
• Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе: $h$

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$
2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$

Из этих двух формул для площади следует, что $ab = ch$.

Рассмотрим известное алгебраическое тождество для квадрата суммы:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные нам выражения в тождество. Заменим $(a+b)$ на $l$ и $(a^2+b^2)$ на $c^2$:

$l^2 = c^2 + 2ab$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $c$ и $ab$:

$ab = ch$
$c^2 + 2ab = l^2$

Наша цель — найти площадь $S = \frac{1}{2}ab$. Для этого нам достаточно найти значение произведения $ab$.

Выразим $c$ из первого уравнения: $c = \frac{ab}{h}$. Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:

$\left(\frac{ab}{h}\right)^2 + 2ab = l^2$

$\frac{(ab)^2}{h^2} + 2ab - l^2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно произведения $ab$. Для удобства введем замену $x = ab$:

$\frac{1}{h^2}x^2 + 2x - l^2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $h^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 + 2h^2x - l^2h^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где $A=1$, $B=2h^2$, $C=-l^2h^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (2h^2)^2 - 4(1)(-l^2h^2) = 4h^4 + 4l^2h^2 = 4h^2(h^2+l^2)$

Корень из дискриминанта равен:

$\sqrt{D} = \sqrt{4h^2(h^2+l^2)} = 2h\sqrt{h^2+l^2}$

Теперь найдем значения $x$:

$x = \frac{-2h^2 \pm 2h\sqrt{h^2+l^2}}{2} = -h^2 \pm h\sqrt{h^2+l^2}$

Поскольку $x = ab$, а $a$ и $b$ — это длины катетов, их произведение должно быть положительным ($x > 0$). Так как $\sqrt{h^2+l^2} > \sqrt{h^2} = h$, то произведение $h\sqrt{h^2+l^2}$ будет больше, чем $h^2$. Следовательно, мы должны выбрать корень со знаком "плюс", чтобы получить положительное значение.

$ab = h\sqrt{h^2+l^2} - h^2$

Теперь, когда мы нашли произведение катетов, мы можем вычислить площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{h\sqrt{h^2+l^2} - h^2}{2}$

Ответ: $S = \frac{h(\sqrt{h^2+l^2} - h)}{2}$

3.43. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Центры квадратов соединены с концами соответствующей стороны треугольника. Найдите площадь полученного шестиугольника. Сторона треугольника равна $a$ (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Для нахождения площади полученного шестиугольника разобьем его на более простые фигуры. Согласно условию, на сторонах равностороннего треугольника построены квадраты. Центры этих квадратов соединены с вершинами соответствующей стороны исходного треугольника. Таким образом, искомый шестиугольник состоит из центрального равностороннего треугольника и трех одинаковых равнобедренных треугольников, пристроенных к его сторонам.

Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна $a$.

1. Найдем площадь центрального равностороннего треугольника ($S_1$).
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь одного из трех добавленных равнобедренных треугольников ($S_2$).
Каждый из этих треугольников имеет основание, равное стороне исходного треугольника, то есть $a$. Вершина, противолежащая основанию, является центром квадрата, построенного на этой стороне. Высота такого треугольника, проведенная к основанию $a$, равна расстоянию от центра квадрата до его стороны. Это расстояние равно половине стороны квадрата. Так как квадрат построен на стороне треугольника, его сторона также равна $a$. Следовательно, высота $h$ каждого из этих треугольников равна $\frac{a}{2}$. Площадь одного такого треугольника ($S_2$) равна: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$

3. Найдем общую площадь шестиугольника ($S$).
Общая площадь шестиугольника равна сумме площади центрального равностороннего треугольника и площадей трех одинаковых равнобедренных треугольников. $S = S_1 + 3 \cdot S_2$ Подставим найденные значения площадей: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2\sqrt{3} + 3a^2}{4}$ Вынесем общий множитель за скобки: $S = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{4}$

Ответ: Площадь полученного шестиугольника равна $\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{4}$.