Страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как построить прямоугольную декартову систему координат?

2. Какие знаки имеют координаты точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвертой) четверти?

3. Какой общий вид имеют координаты точки, лежащей

а) на оси Ox;

б) на оси Oy?

4. Напишите формулу для расстояния между двумя точками.

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

5. Напишите формулу для деления отрезка в данном отношении.

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

6. По какой формуле определяют координаты середины отрезка?

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

1. Чтобы построить прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости, необходимо выполнить следующие действия:
1. Выбрать на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат.
2. Одну из прямых, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс и обозначают $Ox$. Другую прямую, вертикальную, называют осью ординат и обозначают $Oy$.
3. Точку пересечения осей $O$ называют началом координат. Её координаты равны $(0, 0)$.
4. На каждой оси необходимо выбрать положительное направление, которое указывается стрелкой. Традиционно для оси $Ox$ положительным считается направление вправо от начала координат, а для оси $Oy$ — вверх.
5. Наконец, нужно выбрать единичный отрезок (масштаб), который будет использоваться для измерения длин по обеим осям.
Таким образом, каждая точка на плоскости получает свою уникальную пару координат $(x, y)$.
Ответ: Прямоугольная декартова система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми (осями координат) с указанным на них положительным направлением, общим началом координат и выбранным единичным отрезком.

2. Координатные оси делят плоскость на четыре квадранта (или четверти). Нумерация квадрантов производится против часовой стрелки, начиная с правого верхнего. Знаки координат $(x, y)$ точки в каждой четверти следующие:
• Первая четверть (I): абсцисса положительна, ордината положительна. То есть $x > 0$, $y > 0$.
• Вторая четверть (II): абсцисса отрицательна, ордината положительна. То есть $x < 0$, $y > 0$.
• Третья четверть (III): абсцисса отрицательна, ордината отрицательна. То есть $x < 0$, $y < 0$.
• Четвертая четверть (IV): абсцисса положительна, ордината отрицательна. То есть $x > 0$, $y < 0$.
Ответ: Первая четверть: $(+, +)$; вторая четверть: $(-, +)$; третья четверть: $(-, -)$; четвертая четверть: $(+, -)$.

3. а) Любая точка, лежащая на оси абсцисс ($Ox$), имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Ее абсцисса (координата $x$) может быть любым действительным числом.
Ответ: Общий вид координат точки, лежащей на оси $Ox$: $(x, 0)$.
б) Любая точка, лежащая на оси ординат ($Oy$), имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Ее ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом.
Ответ: Общий вид координат точки, лежащей на оси $Oy$: $(0, y)$.

4. Расстояние $d$ между двумя точками $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$ на плоскости вычисляется на основе теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются проекции отрезка $AB$ на координатные оси.
Ответ: Формула для расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

5. Если точка $C(x, y)$ делит отрезок, соединяющий точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, в заданном отношении $\lambda$, то есть $\frac{AC}{CB} = \lambda$ (где $\lambda > 0$), то её координаты можно найти по специальным формулам.
Ответ: Формулы для деления отрезка в данном отношении $\lambda$:
$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$
$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

6. Координаты середины отрезка — это частный случай деления отрезка в данном отношении, когда точка делит отрезок пополам, то есть отношение $\lambda = 1$. Если подставить $\lambda = 1$ в формулы из предыдущего пункта, получим формулы для координат середины отрезка.
Ответ: Координаты $(x_c, y_c)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ определяются по формулам:
$x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$