Страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.4. Начало координат расположено в центре квадрата со стороной, равной $2a$. Каковы координаты вершин квадрата, если:

1) стороны квадрата параллельны осям координат;

2) диагонали квадрата лежат на осях координат?

1) стороны квадрата параллельны осям координат;
По условию задачи, центр квадрата находится в начале координат $O(0, 0)$, а его сторона равна $2a$. Если стороны квадрата параллельны осям координат, то он расположен симметрично относительно этих осей. Расстояние от центра квадрата (начала координат) до любой его стороны равно половине длины стороны, то есть $2a / 2 = a$.
Следовательно, вертикальные стороны квадрата лежат на прямых, описываемых уравнениями $x = a$ и $x = -a$. Горизонтальные стороны лежат на прямых $y = a$ и $y = -a$.
Вершины квадрата — это точки пересечения этих прямых. Найдем их координаты:
Вершина в I координатной четверти: пересечение прямых $x = a$ и $y = a$ дает точку $(a, a)$.
Вершина во II координатной четверти: пересечение прямых $x = -a$ и $y = a$ дает точку $(-a, a)$.
Вершина в III координатной четверти: пересечение прямых $x = -a$ и $y = -a$ дает точку $(-a, -a)$.
Вершина в IV координатной четверти: пересечение прямых $x = a$ и $y = -a$ дает точку $(a, -a)$.

Ответ: $(a, a)$, $(-a, a)$, $(-a, -a)$, $(a, -a)$.

2) диагонали квадрата лежат на осях координат?
В этом случае диагонали квадрата лежат на осях Ox и Oy, а их точка пересечения — центр квадрата — совпадает с началом координат $O(0, 0)$. Это означает, что все вершины квадрата расположены на осях координат на одинаковом расстоянии от центра.
Это расстояние равно половине длины диагонали квадрата. Найдем длину диагонали $d$ для квадрата со стороной $s = 2a$ по теореме Пифагора:
$d^2 = s^2 + s^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2$
Отсюда $d = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}$.
Расстояние от центра до каждой вершины равно половине диагонали: $r = d/2 = (2a\sqrt{2}) / 2 = a\sqrt{2}$.
Поскольку вершины лежат на осях координат, две из них будут иметь ненулевую абсциссу (координату x), а две — ненулевую ординату (координату y). Таким образом, их координаты:
$(a\sqrt{2}, 0)$, $(-a\sqrt{2}, 0)$, $(0, a\sqrt{2})$ и $(0, -a\sqrt{2})$.

Ответ: $(a\sqrt{2}, 0)$, $(-a\sqrt{2}, 0)$, $(0, a\sqrt{2})$, $(0, -a\sqrt{2})$.

4.5. В равнобедренном треугольнике $ABC$, изображенном на рис. 4.7, $AB = 2a$, $OC = h$. Чему равны координаты вершин треугольника?

Рис. 4.7

Для нахождения координат вершин равнобедренного треугольника $ABC$ воспользуемся данными из условия задачи и его расположением в системе координат, показанным на рисунке.

Координаты вершины C
Вершина $C$ лежит на оси ординат $Oy$. Это означает, что ее абсцисса (координата $x$) равна нулю. По условию задачи, длина отрезка $OC$ (высоты треугольника) равна $h$. Так как точка $C$ находится на положительной части оси $y$, ее ордината (координата $y$) равна $h$.
Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(0, h)$.

Координаты вершин A и B
Основание $AB$ треугольника лежит на оси абсцисс $Ox$. Это означает, что ординаты (координаты $y$) вершин $A$ и $B$ равны нулю.В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $OC$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это значит, что точка $O$ (начало координат) является серединой основания $AB$.
Длина основания $AB$ по условию равна $2a$. Поскольку точка $O$ делит отрезок $AB$ пополам, то длины отрезков $OA$ и $OB$ равны:
$OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{2a}{2} = a$.
Точка $A$ расположена на оси $Ox$ слева от начала координат, поэтому ее абсцисса имеет отрицательное значение. Координаты вершины $A$ равны $(-a, 0)$.
Точка $B$ расположена на оси $Ox$ справа от начала координат, поэтому ее абсцисса имеет положительное значение. Координаты вершины $B$ равны $(a, 0)$.

Ответ: $A(-a, 0)$, $B(a, 0)$, $C(0, h)$.

Рис. 4.7

4.6. Найдите расстояние от точки $(-3; 4)$ до: 1) оси $Ox$; 2) оси $Oy$.

Пусть дана точка $M$ с координатами $(x_0; y_0)$. В данном случае это точка $(-3; 4)$, где $x_0 = -3$ и $y_0 = 4$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

1) оси Ox

Расстояние от точки $M(x_0; y_0)$ до оси абсцисс (оси Ox) равно модулю ее ординаты (координаты $y$). Это связано с тем, что перпендикуляр от точки $M(x_0; y_0)$ к оси Ox опускается в точку $P(x_0; 0)$. Длина этого перпендикуляра, то есть расстояние между точками $M$ и $P$, вычисляется как $|y_0 - 0| = |y_0|$.
Для точки $(-3; 4)$ расстояние до оси Ox равно: $d = |4| = 4$.
Ответ: 4.

2) оси Oy

Расстояние от точки $M(x_0; y_0)$ до оси ординат (оси Oy) равно модулю ее абсциссы (координаты $x$). Перпендикуляр от точки $M(x_0; y_0)$ к оси Oy опускается в точку $Q(0; y_0)$. Длина этого перпендикуляра, то есть расстояние между точками $M$ и $Q$, вычисляется как $|x_0 - 0| = |x_0|$.
Для точки $(-3; 4)$ расстояние до оси Oy равно: $d = |-3| = 3$.
Ответ: 3.

4.7. Пусть A (2; 3), B (-1; 2). Найдите координаты точки, которая делит отрезок AB в отношении:

1) $\lambda = 1$;

2) $\lambda = \frac{1}{2}$;

3) $\lambda = 2$;

4) $\lambda = \frac{2}{3}$.

Для нахождения координат точки M(x; y), которая делит отрезок AB с концами в точках A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) в заданном отношении $\lambda = \frac{AM}{MB}$, используются следующие формулы:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

В нашей задаче даны точки A(2; 3) и B(–1; 2). Следовательно, $x_1 = 2$, $y_1 = 3$, $x_2 = -1$, $y_2 = 2$.

1) $\lambda = 1$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + 1 \cdot (-1)}{1 + 1} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3 + 1 \cdot 2}{1 + 1} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}$

Координаты искомой точки: $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$

2) $\lambda = \frac{1}{2}$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + \frac{1}{2} \cdot (-1)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 1$

$y = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot 2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3 + 1}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Координаты искомой точки: $(1; \frac{8}{3})$.

Ответ: $(1; \frac{8}{3})$

3) $\lambda = 2$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + 2 \cdot (-1)}{1 + 2} = \frac{2 - 2}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$y = \frac{3 + 2 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3}$

Координаты искомой точки: $(0; \frac{7}{3})$.

Ответ: $(0; \frac{7}{3})$

4) $\lambda = \frac{2}{3}$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + \frac{2}{3} \cdot (-1)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{2 - \frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{4}{5}$

$y = \frac{3 + \frac{2}{3} \cdot 2}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3 + \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{13}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{13}{5}$

Координаты искомой точки: $(\frac{4}{5}; \frac{13}{5})$.

Ответ: $(\frac{4}{5}; \frac{13}{5})$

4.8. Найдите расстояние между точками А и В, если:

1) A $(2; -1)$, B $(1; 2)$;

2) A $(1; 5)$, B $(1; 1)$;

3) A $(-3; 1)$, B $(1; -2)$;

4) A $(-1; 2)$, B $(3; 0)$.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ на координатной плоскости используется формула расстояния, которая является следствием теоремы Пифагора:

$d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Применим эту формулу для каждой пары точек.

1) A(2; -1), B(1; 2)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$d = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10}$

2) A(1; 5), B(1; 1)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$d = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

3) A(-3; 1), B(1; -2)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

4) A(-1; 2), B(3; 0)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4^2 + 4} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

Упростим полученный корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$

4.9. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный, если:

1) A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2);

2) A (-4; 1), B (-2; 4), C (0; 1).

Для доказательства того, что треугольник является равнобедренным, необходимо вычислить длины всех его сторон и показать, что хотя бы две из них равны. Длина отрезка между точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами в точках $A(0; 1)$, $B(1; -4)$, $C(5; 2)$.
Длина стороны $AB$: $|AB| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
Длина стороны $BC$: $|BC| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{16 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.
Длина стороны $AC$: $|AC| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
Поскольку $|AB| = |AC| = \sqrt{26}$, две стороны треугольника равны. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как стороны $AB$ и $AC$ равны $\sqrt{26}$.

2)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами в точках $A(-4; 1)$, $B(-2; 4)$, $C(0; 1)$.
Длина стороны $AB$: $|AB| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-2 + 4)^2 + 3^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Длина стороны $BC$: $|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(0 + 2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Длина стороны $AC$: $|AC| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(0 + 4)^2 + 0^2} = \sqrt{4^2 + 0} = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку $|AB| = |BC| = \sqrt{13}$, две стороны треугольника равны. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как стороны $AB$ и $BC$ равны $\sqrt{13}$.

4.10. Найдите радиус окружности, если она проходит через точку $(-2; 1)$ и ее центр находится в точке $(2; -3)$.

Радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки, лежащей на этой окружности. Чтобы найти радиус, нужно вычислить расстояние между точкой центра $C(2; -3)$ и точкой на окружности $A(-2; 1)$.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В нашем случае, радиус $R$ — это и есть искомое расстояние. Подставим координаты точек $C$ и $A$ в формулу:

$x_1 = 2, y_1 = -3$
$x_2 = -2, y_2 = 1$

$R = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-3))^2}$

Теперь выполним вычисления:

$R = \sqrt{(-4)^2 + (1 + 3)^2}$
$R = \sqrt{16 + 4^2}$
$R = \sqrt{16 + 16}$
$R = \sqrt{32}$

Для упрощения результата можно вынести множитель из-под знака корня:

$R = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $4\sqrt{2}$.

4.11. Перечертите следующую таблицу в тетрадь и, используя формулу для вычисления координат точки $C$ – середины отрезка $AB$, заполните пустые клетки таблицы:

A: (2; -3) (0; 1) (0; 0) (c; d) (3; 5) (3t+5; 7)

B: (-3; 1) (4; 7) (-3; 7) (3; 8) (t+7; -7)

C: (-3; -2) (3; -5) (a; b)

Для решения данной задачи используется формула для вычисления координат точки $C(x_C; y_C)$, являющейся серединой отрезка $AB$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Если известны координаты середины $C$ и одного из концов отрезка (например, $B$), то координаты другого конца ($A$) можно найти по следующим формулам:

$x_A = 2x_C - x_B$

$y_A = 2y_C - y_B$

Аналогично для точки $B$:

$x_B = 2x_C - x_A$

$y_B = 2y_C - y_A$

Заполним пустые клетки таблицы, решая задачу для каждого столбца.

Столбец 1

Даны координаты точек $A(2; -3)$ и $B(-3; 1)$. Необходимо найти координаты точки $C$.

Вычисляем абсциссу точки $C$:

$x_C = \frac{2 + (-3)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

Вычисляем ординату точки $C$:

$y_C = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: Координаты точки $C$ равны $(-0.5; -1)$.

Столбец 2

Даны координаты точек $B(4; 7)$ и $C(-3; -2)$. Необходимо найти координаты точки $A$.

Вычисляем абсциссу точки $A$:

$x_A = 2x_C - x_B = 2 \cdot (-3) - 4 = -6 - 4 = -10$

Вычисляем ординату точки $A$:

$y_A = 2y_C - y_B = 2 \cdot (-2) - 7 = -4 - 7 = -11$

Ответ: Координаты точки $A$ равны $(-10; -11)$.

Столбец 3

Даны координаты точек $A(0; 1)$ и $C(3; -5)$. Необходимо найти координаты точки $B$.

Вычисляем абсциссу точки $B$:

$x_B = 2x_C - x_A = 2 \cdot 3 - 0 = 6$

Вычисляем ординату точки $B$:

$y_B = 2y_C - y_A = 2 \cdot (-5) - 1 = -10 - 1 = -11$

Ответ: Координаты точки $B$ равны $(6; -11)$.

Столбец 4

Даны координаты точек $A(0; 0)$ и $B(-3; 7)$. Необходимо найти координаты точки $C(a; b)$.

Вычисляем абсциссу точки $C$ (координата $a$):

$a = \frac{0 + (-3)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

Вычисляем ординату точки $C$ (координата $b$):

$b = \frac{0 + 7}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: Координаты точки $C(a;b)$ равны $(-1.5; 3.5)$.

Столбец 5

Даны координаты точек $A(3; 5)$ и $B(3; 8)$. Необходимо найти координаты точки $C$.

Вычисляем абсциссу точки $C$:

$x_C = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Вычисляем ординату точки $C$:

$y_C = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: Координаты точки $C$ равны $(3; 6.5)$.

Столбец 6

Даны координаты точек $A(3t+5; 7)$ и $B(t+7; -7)$. Необходимо найти координаты точки $C$.

Вычисляем абсциссу точки $C$:

$x_C = \frac{(3t+5) + (t+7)}{2} = \frac{4t + 12}{2} = 2t + 6$

Вычисляем ординату точки $C$:

$y_C = \frac{7 + (-7)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ответ: Координаты точки $C$ равны $(2t+6; 0)$.

4.12. В параллелограмме ABCD даны две соседние вершины $A(-4; 4)$, $B(2; 8)$ и точка пересечения его диагоналей $E(2; 2)$. Найдите координаты его вершин C и D.

Для решения задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка $E(2; 2)$ является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, а значит, она является серединой каждой из них.

Точка E является серединой диагонали AC. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Для отрезка AC с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$ и серединой в точке $E(x_E; y_E)$ справедливы формулы:

$x_E = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_E = \frac{y_A + y_C}{2}$

Выразим из этих формул искомые координаты $x_C$ и $y_C$:

$x_C = 2x_E - x_A$

$y_C = 2y_E - y_A$

Подставим известные значения координат точек $A(-4; 4)$ и $E(2; 2)$:

$x_C = 2 \cdot 2 - (-4) = 4 + 4 = 8$

$y_C = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Следовательно, координаты вершины C равны $(8; 0)$.

Аналогично, точка E является серединой диагонали BD. Для отрезка BD с концами в точках $B(x_B; y_B)$ и $D(x_D; y_D)$ и серединой в точке E, выразим координаты точки D:

$x_D = 2x_E - x_B$

$y_D = 2y_E - y_B$

Подставим известные значения координат точек $B(2; 8)$ и $E(2; 2)$:

$x_D = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$y_D = 2 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 = -4$

Следовательно, координаты вершины D равны $(2; -4)$.

Ответ: Координаты вершины C: $(8; 0)$, координаты вершины D: $(2; -4)$.

Для решения этой задачи воспользуемся одним из ключевых свойств параллелограмма: его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. В параллелограмме ABCD это означает, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

Даны координаты трех вершин:

• A(0; 0)
• B(5; 0)
• C(12; 3)

Пусть искомая четвертая вершина D имеет координаты $(x; y)$.

Шаг 1: Найти координаты середины диагонали AC.

Координаты середины отрезка (обозначим ее M) с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Подставим координаты точек A(0; 0) и C(12; 3):

$x_M = \frac{0 + 12}{2} = 6$

$y_M = \frac{0 + 3}{2} = 1.5$

Таким образом, середина диагонали AC — это точка M с координатами (6; 1.5).

Шаг 2: Выразить координаты середины диагонали BD.

Точка M также является серединой диагонали BD. Выразим ее координаты через известные координаты точки B(5; 0) и неизвестные координаты точки D(x; y):

$x_M = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{5 + x}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Шаг 3: Приравнять координаты и найти x и y.

Поскольку середина у диагоналей одна и та же, мы можем приравнять полученные выражения для ее координат:

Приравниваем абсциссы (координаты x):

$\frac{5 + x}{2} = 6$

Умножим обе части на 2:

$5 + x = 12$

$x = 12 - 5$

$x = 7$

Приравниваем ординаты (координаты y):

$\frac{y}{2} = 1.5$

Умножим обе части на 2:

$y = 1.5 \cdot 2$

$y = 3$

Следовательно, координаты четвертой вершины D — (7; 3).

Ответ: Координаты четвертой вершины D(7; 3).