Страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Напишите уравнения прямых, параллельных каждой из осей координат и проходящих через точку $M(2; 3)$.

Прямая, параллельная оси абсцисс (Ox)

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $x$), является горизонтальной прямой. Все точки, лежащие на такой прямой, имеют одинаковую ординату (координату $y$). Общий вид уравнения для такой прямой: $y = c$, где $c$ — некоторая константа.
Согласно условию задачи, прямая должна проходить через точку $M(2; 3)$. Это означает, что ордината любой точки на этой прямой должна быть равна ординате точки $M$, то есть 3.
Следовательно, подставив значение $y=3$ в общее уравнение, получаем искомое уравнение прямой.
Ответ: $y = 3$

Прямая, параллельная оси ординат (Oy)

Прямая, параллельная оси ординат (оси $y$), является вертикальной прямой. Все точки, лежащие на такой прямой, имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Общий вид уравнения для такой прямой: $x = c$, где $c$ — некоторая константа.
Согласно условию задачи, прямая должна проходить через точку $M(2; 3)$. Это означает, что абсцисса любой точки на этой прямой должна быть равна абсциссе точки $M$, то есть 2.
Следовательно, подставив значение $x=2$ в общее уравнение, получаем искомое уравнение прямой.
Ответ: $x = 2$

4.38. Постройте прямые, заданные уравнениями:

1) $y = -3$;

2) $x = 2$;

3) $y = 4$;

4) $x = -7$.

1) y = -3

Уравнение $y = -3$ задает прямую, у всех точек которой ордината (координата $y$) равна $-3$. Абсцисса (координата $x$) может быть любой. Это уравнение можно записать в общем виде как $0 \cdot x + 1 \cdot y = -3$.

Для построения прямой в декартовой системе координат достаточно двух точек. Выберем два произвольных значения для $x$ и найдем соответствующие значения $y$.

• Пусть $x_1 = 0$, тогда $y_1 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
• Пусть $x_2 = 5$, тогда $y_2 = -3$. Получаем точку $(5; -3)$.

Отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая будет параллельна оси абсцисс (оси $Ox$) и будет проходить через точку $(0; -3)$ на оси ординат (оси $Oy$).

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -3)$.

2) x = 2

Уравнение $x = 2$ задает прямую, у всех точек которой абсцисса (координата $x$) равна $2$. Ордината (координата $y$) может быть любой. Это уравнение можно записать в общем виде как $1 \cdot x + 0 \cdot y = 2$.

Для построения прямой выберем две точки, удовлетворяющие этому уравнению. Для этого возьмем два произвольных значения для $y$.

• Пусть $y_1 = 0$, тогда $x_1 = 2$. Получаем точку $(2; 0)$.
• Пусть $y_2 = 4$, тогда $x_2 = 2$. Получаем точку $(2; 4)$.

Отметим точки $(2; 0)$ и $(2; 4)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая будет параллельна оси ординат (оси $Oy$) и будет проходить через точку $(2; 0)$ на оси абсцисс (оси $Ox$).

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(2; 0)$.

3) y = 4

Уравнение $y = 4$ задает прямую, у всех точек которой ордината равна $4$. Абсцисса может быть любой.

Для построения найдем две точки этой прямой, выбрав произвольные значения для $x$.

• Пусть $x_1 = -2$, тогда $y_1 = 4$. Получаем точку $(-2; 4)$.
• Пусть $x_2 = 3$, тогда $y_2 = 4$. Получаем точку $(3; 4)$.

Проведя прямую через эти точки, мы получим линию, которая параллельна оси $Ox$ и пересекает ось $Oy$ в точке с координатой $y = 4$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 4)$.

4) x = -7

Уравнение $x = -7$ задает прямую, у всех точек которой абсцисса равна $-7$. Ордината может быть любой.

Для построения найдем две точки этой прямой, выбрав произвольные значения для $y$.

• Пусть $y_1 = -1$, тогда $x_1 = -7$. Получаем точку $(-7; -1)$.
• Пусть $y_2 = 5$, тогда $x_2 = -7$. Получаем точку $(-7; 5)$.

Проведя прямую через эти точки, мы получим линию, которая параллельна оси $Oy$ и пересекает ось $Ox$ в точке с координатой $x = -7$.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-7; 0)$.

439. Какие из точек A(1; 2), B(3; 4), C(-3; 4), D(0; 5), E(5; -1) лежат на окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$?

Для того чтобы определить, какие из данных точек лежат на окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, необходимо подставить координаты $(x; y)$ каждой точки в это уравнение. Если в результате подстановки мы получим верное равенство (то есть $25 = 25$), то точка лежит на окружности. В противном случае — не лежит.

A(1; 2)
Подставляем координаты $x = 1$ и $y = 2$ в уравнение окружности:
$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
Так как $5 \neq 25$, равенство не выполняется. Следовательно, точка A не лежит на данной окружности.
Ответ: не лежит.

B(3; 4)
Подставляем координаты $x = 3$ и $y = 4$ в уравнение окружности:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Так как $25 = 25$, равенство выполняется. Следовательно, точка B лежит на данной окружности.
Ответ: лежит.

C(-3; 4)
Подставляем координаты $x = -3$ и $y = 4$ в уравнение окружности:
$(-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Так как $25 = 25$, равенство выполняется. Следовательно, точка C лежит на данной окружности.
Ответ: лежит.

D(0; 5)
Подставляем координаты $x = 0$ и $y = 5$ в уравнение окружности:
$0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$
Так как $25 = 25$, равенство выполняется. Следовательно, точка D лежит на данной окружности.
Ответ: лежит.

E(5; -1)
Подставляем координаты $x = 5$ и $y = -1$ в уравнение окружности:
$5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$
Так как $26 \neq 25$, равенство не выполняется. Следовательно, точка E не лежит на данной окружности.
Ответ: не лежит.

Таким образом, на окружности лежат точки B(3; 4), C(-3; 4) и D(0; 5).

4.40. Постройте графики окружностей, определите их радиусы, координаты их центров, если заданы их уравнения:

1) $x^2 + y^2 = 9;$

2) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4;$

3) $(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 25;$

4) $(x - 1)^2 + y^2 = 4;$

5) $x^2 + (y + 2)^2 = 2;$

6) $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 3.$

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Чтобы определить центр и радиус для каждой из заданных окружностей, мы приведем их уравнения к этому стандартному виду.

Данное уравнение можно переписать в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Сравнивая это уравнение с общим видом, мы видим, что координаты центра окружности $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Таким образом, центр находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Квадрат радиуса $R^2 = 9$, следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$. Для построения графика необходимо начертить окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

Ответ: Центр $(0, 0)$, радиус $R = 3$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$. Отсюда находим координаты центра: $x_0 = 1$ и $y_0 = -2$. Центр окружности — точка $(1, -2)$. Квадрат радиуса $R^2 = 4$, значит, радиус $R = \sqrt{4} = 2$. График представляет собой окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом 2.

Ответ: Центр $(1, -2)$, радиус $R = 2$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - (-5))^2 + (y - 3)^2 = 5^2$. Координаты центра: $x_0 = -5$ и $y_0 = 3$. Центр — точка $(-5, 3)$. Квадрат радиуса $R^2 = 25$, значит, радиус $R = \sqrt{25} = 5$. График — это окружность с центром в точке $(-5, 3)$ и радиусом 5.

Ответ: Центр $(-5, 3)$, радиус $R = 5$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$. Координаты центра: $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Центр — точка $(1, 0)$. Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$. График представляет собой окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 2.

Ответ: Центр $(1, 0)$, радиус $R = 2$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = (\sqrt{2})^2$. Координаты центра: $x_0 = 0$ и $y_0 = -2$. Центр — точка $(0, -2)$. Квадрат радиуса $R^2 = 2$, значит, радиус $R = \sqrt{2}$. График — это окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $\sqrt{2}$ (приблизительно 1.41).

Ответ: Центр $(0, -2)$, радиус $R = \sqrt{2}$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - (-2))^2 + (y - (-3))^2 = (\sqrt{3})^2$. Координаты центра: $x_0 = -2$ и $y_0 = -3$. Центр — точка $(-2, -3)$. Квадрат радиуса $R^2 = 3$, значит, радиус $R = \sqrt{3}$. График представляет собой окружность с центром в точке $(-2, -3)$ и радиусом $\sqrt{3}$ (приблизительно 1.73).

Ответ: Центр $(-2, -3)$, радиус $R = \sqrt{3}$.

4.41. Даны точки $A(2; 0)$ и $C(-4; 8)$. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку A, с центром в точке C.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности находится в точке C с координатами (−4; 8). Следовательно, в уравнении окружности $x_0 = -4$ и $y_0 = 8$. Подставим эти значения в общую формулу:
$(x - (-4))^2 + (y - 8)^2 = R^2$
$(x + 4)^2 + (y - 8)^2 = R^2$

Чтобы найти радиус $R$, воспользуемся тем, что окружность проходит через точку A(2; 0). Радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки на окружности. Таким образом, радиус $R$ равен расстоянию между точками C(−4; 8) и A(2; 0).

Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:
$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
$R^2 = (2 - (-4))^2 + (0 - 8)^2$
$R^2 = (2 + 4)^2 + (-8)^2$
$R^2 = 6^2 + 64$
$R^2 = 36 + 64$
$R^2 = 100$

Теперь, зная координаты центра и квадрат радиуса, мы можем записать итоговое уравнение окружности, подставив $R^2 = 100$ в полученное ранее выражение:
$(x + 4)^2 + (y - 8)^2 = 100$

Ответ: $(x + 4)^2 + (y - 8)^2 = 100$

4.42. Треугольник ABC задан координатами своих вершин A(4; 6), B(-4; 0), C(-1; -4). Напишите уравнение медианы, проведенной из вершины А.

Медиана треугольника, проведенная из вершины A, соединяет эту вершину с серединой противолежащей стороны BC. Обозначим середину стороны BC как точку M.

1. Нахождение координат середины стороны BC

Координаты точки $M(x_M; y_M)$, являющейся серединой отрезка с концами в точках $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим известные координаты вершин $B(-4; 0)$ и $C(-1; -4)$:

$x_M = \frac{-4 + (-1)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$

$y_M = \frac{0 + (-4)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, середина стороны BC, точка M, имеет координаты $(-2.5; -2)$.

2. Составление уравнения медианы AM

Теперь необходимо найти уравнение прямой, которая проходит через две точки: вершину $A(4; 6)$ и середину противолежащей стороны $M(-2.5; -2)$.

Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A и M в эту формулу:

$\frac{x - 4}{-2.5 - 4} = \frac{y - 6}{-2 - 6}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x - 4}{-6.5} = \frac{y - 6}{-8}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$-8(x - 4) = -6.5(y - 6)$

Чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательных знаков, умножим обе части уравнения на $-2$:

$16(x - 4) = 13(y - 6)$

Раскроем скобки:

$16x - 64 = 13y - 78$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, перенеся все слагаемые в левую часть:

$16x - 13y - 64 + 78 = 0$

$16x - 13y + 14 = 0$

Ответ: $16x - 13y + 14 = 0$

4.43. Трапеция $ABCD$ задана координатами своих вершин $A(-2; -2)$, $B(-3; 1)$, $C(7; 7)$; $D(3; 1)$. Напишите уравнения прямых, проходящих через:

1) диагонали $AC$ и $BD$;

2) среднюю линию.

1) диагонали AC и BD

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Найдем уравнение прямой, проходящей через диагональ AC. Координаты вершин: $A(-2; -2)$ и $C(7; 7)$.

Подставим координаты точек A и C в формулу:

$\frac{x - (-2)}{7 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{7 - (-2)}$

$\frac{x + 2}{9} = \frac{y + 2}{9}$

Умножим обе части уравнения на 9:

$x + 2 = y + 2$

Отсюда получаем уравнение прямой AC:

$y = x$ или в общем виде $x - y = 0$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через диагональ BD. Координаты вершин: $B(-3; 1)$ и $D(3; 1)$.

Так как ординаты (координаты y) точек B и D одинаковы и равны 1, прямая BD является горизонтальной линией, параллельной оси Ox. Уравнение такой прямой имеет вид $y = \text{const}$.

Следовательно, уравнение прямой BD:

$y = 1$ или в общем виде $y - 1 = 0$.

Ответ: Уравнение диагонали AC: $y = x$. Уравнение диагонали BD: $y = 1$.

2) среднюю линию

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. Сначала определим, какие стороны являются основаниями (параллельными сторонами), а какие — боковыми. Для этого найдем угловые коэффициенты (наклоны) сторон трапеции.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Наклон стороны AD с точками $A(-2; -2)$ и $D(3; 1)$:

$k_{AD} = \frac{1 - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{3}{5}$

Наклон стороны BC с точками $B(-3; 1)$ и $C(7; 7)$:

$k_{BC} = \frac{7 - 1}{7 - (-3)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Поскольку $k_{AD} = k_{BC}$, стороны AD и BC параллельны и являются основаниями трапеции. Следовательно, стороны AB и CD являются боковыми сторонами.

Найдем координаты середин боковых сторон AB и CD. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть M — середина стороны AB. Координаты точек: $A(-2; -2)$ и $B(-3; 1)$.

$x_M = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$

$y_M = \frac{-2 + 1}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

Координаты точки M: $(-2.5; -0.5)$.

Пусть N — середина стороны CD. Координаты точек: $C(7; 7)$ и $D(3; 1)$.

$x_N = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_N = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координаты точки N: $(5; 4)$.

Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки M и N (среднюю линию). Воспользуемся каноническим уравнением прямой, подставив координаты точек M и N:

$\frac{x - x_M}{x_N - x_M} = \frac{y - y_M}{y_N - y_M}$

$\frac{x - (-2.5)}{5 - (-2.5)} = \frac{y - (-0.5)}{4 - (-0.5)}$

$\frac{x + 2.5}{7.5} = \frac{y + 0.5}{4.5}$

Используем свойство пропорции:

$4.5(x + 2.5) = 7.5(y + 0.5)$

Разделим обе части уравнения на 1.5, чтобы упростить коэффициенты:

$3(x + 2.5) = 5(y + 0.5)$

$3x + 7.5 = 5y + 2.5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$3x - 5y + 7.5 - 2.5 = 0$

$3x - 5y + 5 = 0$

Ответ: Уравнение средней линии: $3x - 5y + 5 = 0$.

4.44. Докажите, что прямые, заданные уравнениями $x + 2y = 3$, $2x - y = 1$ и $3x + y = 4$, пересекаются в одной точке.

Чтобы доказать, что три прямые пересекаются в одной точке, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых, а затем проверить, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Нам даны уравнения трех прямых:
1) $x + 2y = 3$
2) $2x - y = 1$
3) $3x + y = 4$

Найдем точку пересечения первых двух прямых.

Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений первой и второй прямых:$$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$Из второго уравнения системы выразим $y$:$$ -y = 1 - 2x $$$$ y = 2x - 1 $$Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$$ x + 2(2x - 1) = 3 $$Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:$$ x + 4x - 2 = 3 $$$$ 5x = 5 $$$$ x = 1 $$Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в выражение $y = 2x - 1$:$$ y = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $$Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1, 1)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(1, 1)$ третьей прямой.

Уравнение третьей прямой: $3x + y = 4$.Подставим в это уравнение координаты найденной точки $x = 1$ и $y = 1$:$$ 3(1) + 1 = 4 $$$$ 3 + 1 = 4 $$$$ 4 = 4 $$Получено верное равенство. Это означает, что точка $(1, 1)$ также лежит и на третьей прямой.

Поскольку точка $(1, 1)$ является общей для всех трех прямых, это доказывает, что они пересекаются в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано. Все три прямые пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$.

4.45. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках $A(0; 1)$, $B(2; 3)$ и $C(3; 2)$.

Точка пересечения медиан треугольника, также называемая центроидом, имеет координаты, которые являются средним арифметическим координат вершин треугольника. Если вершины треугольника заданы точками $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$, то координаты точки пересечения медиан $M(x_M, y_M)$ находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

В условии задачи даны координаты вершин треугольника: $A(0; 1)$, $B(2; 3)$ и $C(3; 2)$.

Для нахождения координат точки пересечения медиан подставим значения координат вершин в приведенные выше формулы.

Найдем абсциссу (координату $x$) точки пересечения:
$x_M = \frac{0 + 2 + 3}{3} = \frac{5}{3}$

Найдем ординату (координату $y$) точки пересечения:
$y_M = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника имеет координаты $(\frac{5}{3}; 2)$.

Ответ: $(\frac{5}{3}; 2)$.

4.46. Окружность задана уравнением $(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16$. Какие из точек А(1; 2), B(3; 4), C(-2; 4), D(-5; -3) и E(-7; -2) лежат:

1) на окружности;

2) внутри окружности;

3) вне окружности?

Чтобы определить положение точки относительно окружности, заданной уравнением $ (x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16 $, необходимо подставить координаты точки $ (x, y) $ в левую часть этого уравнения и сравнить полученное значение с правой частью (16).
- Если результат равен 16, точка лежит на окружности.
- Если результат меньше 16, точка лежит внутри окружности.
- Если результат больше 16, точка лежит вне окружности.

Проверим последовательно каждую точку:

Точка A(1; 2):
Подставляем ее координаты в выражение: $ (1 + 5)^2 + (2 - 1)^2 = 6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37 $.
Так как $ 37 > 16 $, точка A лежит вне окружности.

Точка B(3; 4):
Подставляем ее координаты: $ (3 + 5)^2 + (4 - 1)^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 $.
Так как $ 73 > 16 $, точка B лежит вне окружности.

Точка C(-2; 4):
Подставляем ее координаты: $ (-2 + 5)^2 + (4 - 1)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $.
Так как $ 18 > 16 $, точка C лежит вне окружности.

Точка D(-5; -3):
Подставляем ее координаты: $ (-5 + 5)^2 + (-3 - 1)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16 $.
Так как результат равен 16, точка D лежит на окружности.

Точка E(-7; -2):
Подставляем ее координаты: $ (-7 + 5)^2 + (-2 - 1)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13 $.
Так как $ 13 < 16 $, точка E лежит внутри окружности.

1) на окружности
По результатам вычислений, на окружности лежит только одна точка.
Ответ: D(-5; -3).

2) внутри окружности
По результатам вычислений, внутри окружности лежит только одна точка.
Ответ: E(-7; -2).

3) вне окружности
По результатам вычислений, вне окружности лежат три точки.
Ответ: A(1; 2), B(3; 4), C(-2; 4).

4.47. Даны точки A(3; 1) и B(−3; 5). Напишите уравнение окружности, диаметр которой равен AB.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Поскольку отрезок AB является диаметром окружности, ее центр — точка $C$ — является серединой отрезка AB. Найдем координаты центра $C(x_0; y_0)$, используя формулы для нахождения координат середины отрезка с концами в точках $A(3; 1)$ и $B(-3; 5)$:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, центр окружности находится в точке $C(0; 3)$.

Радиус окружности $R$ равен половине длины диаметра AB. Удобнее найти квадрат радиуса $R^2$. Он равен квадрату расстояния от центра $C(0; 3)$ до любой точки на окружности, например, до точки $A(3; 1)$.

$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 = (3 - 0)^2 + (1 - 3)^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.

Теперь, зная координаты центра $(0; 3)$ и квадрат радиуса $R^2 = 13$, мы можем записать уравнение окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 13$

$x^2 + (y - 3)^2 = 13$

Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 13$.