Номер 4.43, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Трапеция $ABCD$ задана координатами своих вершин $A(-2; -2)$, $B(-3; 1)$, $C(7; 7)$; $D(3; 1)$. Напишите уравнения прямых, проходящих через:

1) диагонали $AC$ и $BD$;

2) среднюю линию.

1) диагонали AC и BD

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Найдем уравнение прямой, проходящей через диагональ AC. Координаты вершин: $A(-2; -2)$ и $C(7; 7)$.

Подставим координаты точек A и C в формулу:

$\frac{x - (-2)}{7 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{7 - (-2)}$

$\frac{x + 2}{9} = \frac{y + 2}{9}$

Умножим обе части уравнения на 9:

$x + 2 = y + 2$

Отсюда получаем уравнение прямой AC:

$y = x$ или в общем виде $x - y = 0$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через диагональ BD. Координаты вершин: $B(-3; 1)$ и $D(3; 1)$.

Так как ординаты (координаты y) точек B и D одинаковы и равны 1, прямая BD является горизонтальной линией, параллельной оси Ox. Уравнение такой прямой имеет вид $y = \text{const}$.

Следовательно, уравнение прямой BD:

$y = 1$ или в общем виде $y - 1 = 0$.

Ответ: Уравнение диагонали AC: $y = x$. Уравнение диагонали BD: $y = 1$.

2) среднюю линию

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. Сначала определим, какие стороны являются основаниями (параллельными сторонами), а какие — боковыми. Для этого найдем угловые коэффициенты (наклоны) сторон трапеции.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Наклон стороны AD с точками $A(-2; -2)$ и $D(3; 1)$:

$k_{AD} = \frac{1 - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{3}{5}$

Наклон стороны BC с точками $B(-3; 1)$ и $C(7; 7)$:

$k_{BC} = \frac{7 - 1}{7 - (-3)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Поскольку $k_{AD} = k_{BC}$, стороны AD и BC параллельны и являются основаниями трапеции. Следовательно, стороны AB и CD являются боковыми сторонами.

Найдем координаты середин боковых сторон AB и CD. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть M — середина стороны AB. Координаты точек: $A(-2; -2)$ и $B(-3; 1)$.

$x_M = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$

$y_M = \frac{-2 + 1}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

Координаты точки M: $(-2.5; -0.5)$.

Пусть N — середина стороны CD. Координаты точек: $C(7; 7)$ и $D(3; 1)$.

$x_N = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_N = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Координаты точки N: $(5; 4)$.

Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки M и N (среднюю линию). Воспользуемся каноническим уравнением прямой, подставив координаты точек M и N:

$\frac{x - x_M}{x_N - x_M} = \frac{y - y_M}{y_N - y_M}$

$\frac{x - (-2.5)}{5 - (-2.5)} = \frac{y - (-0.5)}{4 - (-0.5)}$

$\frac{x + 2.5}{7.5} = \frac{y + 0.5}{4.5}$

Используем свойство пропорции:

$4.5(x + 2.5) = 7.5(y + 0.5)$

Разделим обе части уравнения на 1.5, чтобы упростить коэффициенты:

$3(x + 2.5) = 5(y + 0.5)$

$3x + 7.5 = 5y + 2.5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$3x - 5y + 7.5 - 2.5 = 0$

$3x - 5y + 5 = 0$

Ответ: Уравнение средней линии: $3x - 5y + 5 = 0$.