Номер 4.36, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Найдите точки пересечения прямых, заданных следующими уравнениями:

1) $4x + 3y - 6 = 0$ и $2x + y - 4 = 0;$

2) $x + 2y + 3 = 0$ и $4x + 5y + 6 = 0;$

3) $3x - y - 2 = 0$ и $2x + y - 8 = 0;$

4) $4x + 5y + 8 = 0$ и $4x - 2y - 6 = 0.$

1)

Для нахождения точки пересечения прямых $4x + 3y - 6 = 0$ и $2x + y - 4 = 0$ необходимо решить систему этих уравнений:

$$ \begin{cases} 4x + 3y - 6 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 4 - 2x$
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$4x + 3(4 - 2x) - 6 = 0$
$4x + 12 - 6x - 6 = 0$
$-2x + 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(3, -2)$.

Ответ: $(3, -2)$.

2)

Для нахождения точки пересечения прямых $x + 2y + 3 = 0$ и $4x + 5y + 6 = 0$ решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ 4x + 5y + 6 = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = -2y - 3$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(-2y - 3) + 5y + 6 = 0$
$-8y - 12 + 5y + 6 = 0$
$-3y - 6 = 0$
$-3y = 6$
$y = -2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = -2(-2) - 3 = 4 - 3 = 1$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

3)

Для нахождения точки пересечения прямых $3x - y - 2=0$ и $2x + y - 8 = 0$ решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y - 2 = 0 \\ 2x + y - 8 = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - y - 2) + (2x + y - 8) = 0 + 0$
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2(2) + y - 8 = 0$
$4 + y - 8 = 0$
$y - 4 = 0$
$y = 4$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2, 4)$.

Ответ: $(2, 4)$.

4)

Для нахождения точки пересечения прямых $4x + 5y + 8 = 0$ и $4x - 2y - 6 = 0$ решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 4x + 5y + 8 = 0 \\ 4x - 2y - 6 = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ равны. Вычтем второе уравнение из первого:
$(4x + 5y + 8) - (4x - 2y - 6) = 0 - 0$
$4x + 5y + 8 - 4x + 2y + 6 = 0$
$7y + 14 = 0$
$7y = -14$
$y = -2$
Подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$4x - 2(-2) - 6 = 0$
$4x + 4 - 6 = 0$
$4x - 2 = 0$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{1}{2}, -2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, -2)$.