Номер 4.32, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. Докажите, что если $ABCD$ – прямоугольник, то для любой точки $O$ плоскости выполняется равенство $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат. Это один из наиболее универсальных и наглядных способов для решения задач такого типа. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат таким образом, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда, исходя из нашего расположения, координаты вершин прямоугольника будут следующими:

$A(0, 0)$

$B(a, 0)$

$C(a, b)$

$D(0, b)$

Пусть $O$ – это произвольная точка на плоскости, для которой мы доказываем утверждение. Присвоим ей координаты $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний от точки $O$ до каждой из вершин прямоугольника. Для этого используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для вершины $A(0,0)$: $AO^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$.

Для вершины $B(a,0)$: $BO^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$.

Для вершины $C(a,b)$: $CO^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$.

Для вершины $D(0,b)$: $DO^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$.

Теперь, имея все необходимые выражения, подставим их в левую и правую части доказываемого равенства $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$.

Вычислим левую часть равенства, которая представляет собой сумму квадратов расстояний до противоположных вершин $A$ и $C$:

$AO^2 + CO^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$AO^2 + CO^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.

Теперь вычислим правую часть равенства, которая является суммой квадратов расстояний до другой пары противоположных вершин $B$ и $D$:

$BO^2 + DO^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$BO^2 + DO^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Таким образом, мы доказали, что для любого прямоугольника $ABCD$ и любой точки $O$ на плоскости выполняется равенство $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой же точки до двух других противоположных вершин.