Номер 4.25, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25. Дан четырехугольник $ABCD$: $A(-1; 7)$, $B(5; 5)$; $C(7; -5)$, $D(3; -7)$.

Докажите, что:

1) отрезки, соединяющие середины сторон $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$, в точке их пересечения делятся пополам;

2) середины сторон данного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Даны вершины четырехугольника ABCD: A(-1; 7), B(5; 5), C(7; -5), D(3; -7).

Для решения задачи сначала найдем координаты середин сторон данного четырехугольника. Обозначим их K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

K (середина AB): $K = (\frac{-1+5}{2}; \frac{7+5}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{12}{2}) = (2; 6)$.

L (середина BC): $L = (\frac{5+7}{2}; \frac{5+(-5)}{2}) = (\frac{12}{2}; \frac{0}{2}) = (6; 0)$.

M (середина CD): $M = (\frac{7+3}{2}; \frac{-5+(-7)}{2}) = (\frac{10}{2}; \frac{-12}{2}) = (5; -6)$.

N (середина AD): $N = (\frac{-1+3}{2}; \frac{7+(-7)}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{0}{2}) = (1; 0)$.

1) отрезки, соединяющие середины сторон AB и CD, AD и BC, в точке их пересечения делятся пополам

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, – это KM (середины AB и CD) и NL (середины AD и BC). Чтобы доказать, что они делятся пополам в точке пересечения, необходимо показать, что их середины совпадают.

Найдем координаты середины отрезка KM. Обозначим ее точкой O:

$O = (\frac{x_K+x_M}{2}; \frac{y_K+y_M}{2}) = (\frac{2+5}{2}; \frac{6+(-6)}{2}) = (\frac{7}{2}; \frac{0}{2}) = (3.5; 0)$.

Теперь найдем координаты середины отрезка NL:

$(\frac{x_N+x_L}{2}; \frac{y_N+y_L}{2}) = (\frac{1+6}{2}; \frac{0+0}{2}) = (\frac{7}{2}; \frac{0}{2}) = (3.5; 0)$.

Так как координаты середин отрезков KM и NL совпадают в точке $(3.5; 0)$, то эти отрезки пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) середины сторон данного четырехугольника являются вершинами параллелограмма

Рассмотрим четырехугольник KLMN, образованный серединами сторон исходного четырехугольника: K(2; 6), L(6; 0), M(5; -6) и N(1; 0). Чтобы доказать, что KLMN является параллелограммом, достаточно показать, что векторы его противоположных сторон равны (это докажет, что стороны параллельны и равны по длине).

Найдем координаты векторов $\vec{KL}$ и $\vec{NM}$:

$\vec{KL} = (x_L - x_K; y_L - y_K) = (6 - 2; 0 - 6) = (4; -6)$.

$\vec{NM} = (x_M - x_N; y_M - y_N) = (5 - 1; -6 - 0) = (4; -6)$.

Поскольку векторы $\vec{KL}$ и $\vec{NM}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{KL} = \vec{NM}$. Это означает, что отрезки KL и NM параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), четырехугольник KLMN является параллелограммом.

Ответ: что и требовалось доказать.