Номер 4.28, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.28. Докажите, что в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от его вершин.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Требуется доказать, что точка $M$ равноудалена от всех трех вершин треугольника, то есть $AM = BM = CM$.

По определению середины отрезка, $AM = BM$. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что медиана $CM$, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Для доказательства достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ACBD$. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную катету $BC$, и через вершину $B$ прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

Полученный четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны по построению ($AC \parallel DB$ и $BC \parallel AD$). Поскольку угол $\angle C$ в этом параллелограмме прямой ($\angle C = 90^\circ$), то $ACBD$ является прямоугольником.

Отрезки $AB$ и $CD$ являются диагоналями этого прямоугольника. Согласно свойству диагоналей прямоугольника, они равны и в точке пересечения делятся пополам.

Так как $M$ — середина гипотенузы $AB$, то $M$ является точкой пересечения диагоналей. Следовательно, $M$ также является серединой диагонали $CD$.

Из свойства равенства и деления диагоналей пополам в точке $M$ следует, что все четыре отрезка равны: $AM = BM = CM = DM$.

Отсюда, в частности, следует, что $AM = BM = CM$, что и требовалось доказать. Середина гипотенузы $M$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Утверждение доказано. Это свойство также можно сформулировать так: медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна ее половине. Следовательно, середина гипотенузы является центром окружности, описанной около этого треугольника.