Номер 4.26, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26. Найдите центр и радиус окружности, касающейся оси $Ox$ в точке $A(-6; 0)$ и проходящей через точку $B(-10; 4)$.

Пусть $C(x_0, y_0)$ — центр искомой окружности, а $R$ — её радиус. Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию, окружность касается оси $Ox$ в точке $A(-6; 0)$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поскольку ось $Ox$ является горизонтальной прямой, то радиус, проведенный к точке $A$, должен лежать на вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение этой прямой $x = -6$. Следовательно, центр окружности $C$ лежит на этой прямой, и его абсцисса $x_0 = -6$.

Таким образом, координаты центра — $C(-6, y_0)$. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра до касательной (оси $Ox$). Это расстояние равно модулю ординаты центра, то есть $R = |y_0|$.Поскольку окружность проходит через точку $B(-10; 4)$, которая находится в верхней полуплоскости ($y=4 > 0$), то и центр окружности должен находиться в той же полуплоскости относительно точки касания. Значит, $y_0 > 0$, и можно записать, что $R = y_0$.Итак, координаты центра окружности — $C(-6; R)$.

Подставим известные параметры центра в уравнение окружности:$(x - (-6))^2 + (y - R)^2 = R^2$$(x + 6)^2 + (y - R)^2 = R^2$

Теперь используем то, что окружность проходит через точку $B(-10; 4)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти значение радиуса $R$:$(-10 + 6)^2 + (4 - R)^2 = R^2$$(-4)^2 + (4 - R)^2 = R^2$$16 + (16 - 8R + R^2) = R^2$$32 - 8R + R^2 = R^2$$32 - 8R = 0$$8R = 32$$R = 4$

Мы нашли радиус окружности: $R=4$.Теперь найдем координаты центра $C(-6; R)$. Подставив значение $R$, получаем: $C(-6; 4)$.

Ответ: центр окружности находится в точке с координатами $(-6; 4)$, а её радиус равен $4$.