Номер 4.21, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках:

1) $A(-3; -1)$, $B(1; -1)$, $C(1; -3)$, $D(-3; -3)$;

2) $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $D(0; 0)$

является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, можно использовать свойство, что прямоугольник — это параллелограмм, диагонали которого равны. Сначала докажем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом (противоположные стороны равны), а затем докажем, что его диагонали равны.

Для этого будем использовать формулу для квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1) Даны вершины четырехугольника: A(-3; -1), B(1; -1), C(1; -3), D(-3; -3).

Найдем квадраты длин его сторон:

• $AB^2 = (1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2 = (1 + 3)^2 + 0^2 = 4^2 = 16$
• $BC^2 = (1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2 = 0^2 + (-3 + 1)^2 = (-2)^2 = 4$
• $CD^2 = (-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2 = (-4)^2 + 0^2 = 16$
• $DA^2 = (-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2 = 0^2 + (-1 + 3)^2 = 2^2 = 4$

Так как $AB^2 = CD^2 = 16$ и $BC^2 = DA^2 = 4$, то противоположные стороны четырехугольника попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$). Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Теперь найдем квадраты длин его диагоналей:

• $AC^2 = (1 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2 = (1 + 3)^2 + (-3 + 1)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$
• $BD^2 = (-3 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2 = (-4)^2 + (-3 + 1)^2 = (-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$

Так как $AC^2 = BD^2 = 20$, то диагонали AC и BD равны.
Поскольку ABCD — это параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

2) Даны вершины четырехугольника: A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0).

Найдем квадраты длин его сторон:

• $AB^2 = (3 - 4)^2 + (5 - 1)^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$
• $BC^2 = (-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$
• $CD^2 = (0 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = (0 + 1)^2 + (-4)^2 = 1^2 + 16 = 17$
• $DA^2 = (4 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$

Так как $AB^2 = CD^2 = 17$ и $BC^2 = DA^2 = 17$, то противоположные стороны четырехугольника попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$). Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм. (Более того, так как все стороны равны, это ромб).

Теперь найдем квадраты длин его диагоналей:

• $AC^2 = (-1 - 4)^2 + (4 - 1)^2 = (-5)^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$
• $BD^2 = (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (-3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$

Так как $AC^2 = BD^2 = 34$, то диагонали AC и BD равны.
Поскольку ABCD — это параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.