Номер 4.20, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.20. Найдите на оси абсцисс точку, равноудаленную от точек:

1) $A(1; 2)$ и $B(-3; 4)$;

2) $C(4; -3)$ и $D(3; 5)$.

1) Пусть искомая точка на оси абсцисс, назовем ее $M$, имеет координаты $(x; 0)$, так как она лежит на оси $Ox$. По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 2)$ и $B(-3; 4)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $MA^2 = MB^2$.
Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $A(1; 2)$:
$MA^2 = (1 - x)^2 + (2 - 0)^2 = (1 - x)^2 + 4$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $B(-3; 4)$:
$MB^2 = (-3 - x)^2 + (4 - 0)^2 = (-(x + 3))^2 + 16 = (x + 3)^2 + 16$.
Теперь приравняем полученные выражения:
$(1 - x)^2 + 4 = (x + 3)^2 + 16$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$1 - 2x + x^2 + 4 = x^2 + 6x + 9 + 16$.
Упростим обе части уравнения:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 + 6x + 25$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = 6x + 25$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:
$5 - 25 = 6x + 2x$.
$-20 = 8x$.
Найдем $x$:
$x = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
Таким образом, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(-2.5; 0)$.
Ответ: $(-2.5; 0)$.

2) Аналогично, найдем на оси абсцисс точку $M(x; 0)$, равноудаленную от точек $C(4; -3)$ и $D(3; 5)$. Условие равноудаленности означает, что $MC^2 = MD^2$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $C(4; -3)$:
$MC^2 = (4 - x)^2 + (-3 - 0)^2 = (4 - x)^2 + 9$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $D(3; 5)$:
$MD^2 = (3 - x)^2 + (5 - 0)^2 = (3 - x)^2 + 25$.
Приравняем полученные выражения:
$(4 - x)^2 + 9 = (3 - x)^2 + 25$.
Раскроем скобки:
$16 - 8x + x^2 + 9 = 9 - 6x + x^2 + 25$.
Упростим обе части уравнения:
$x^2 - 8x + 25 = x^2 - 6x + 34$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей:
$-8x + 25 = -6x + 34$.
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую:
$25 - 34 = -6x + 8x$.
$-9 = 2x$.
Найдем $x$:
$x = -\frac{9}{2} = -4.5$.
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-4.5; 0)$.
Ответ: $(-4.5; 0)$.