Номер 4.24, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.24. Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$ определяются по формулам:

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.

Используя эти формулы, найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках:

1) A (3; 1), B(−1; 4), C(1; 1)

2) A (−2; 3), B(5; −2), C(−3; −1)

Доказательство формул для координат точки пересечения медиан треугольника.

Пусть дан треугольник с вершинами в точках $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ и $C(x_3; y_3)$. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Рассмотрим медиану $AM_A$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $M_A$ является серединой отрезка $BC$. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Таким образом, координаты точки $M_A(x_{M_A}; y_{M_A})$ равны:

$x_{M_A} = \frac{x_2 + x_3}{2}$

$y_{M_A} = \frac{y_2 + y_3}{2}$

Известно, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан как $O(x; y)$. Тогда для медианы $AM_A$ выполняется соотношение $AO : OM_A = 2 : 1$.

Для нахождения координат точки $O$, которая делит отрезок $AM_A$ в отношении 2:1, воспользуемся соответствующими формулами. Координаты точки, делящей отрезок с концами $(x_a; y_a)$ и $(x_b; y_b)$ в отношении $m:n$, вычисляются как:

$x = \frac{n \cdot x_a + m \cdot x_b}{m+n}$, $y = \frac{n \cdot y_a + m \cdot y_b}{m+n}$

В нашем случае, отрезок — это $AM_A$, где $A$ — это $(x_1, y_1)$ и $M_A$ — это $(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$. Отношение $m:n = 2:1$. Подставим значения в формулы:

$x = \frac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_{M_A}}{2+1} = \frac{x_1 + 2 \cdot \left(\frac{x_2 + x_3}{2}\right)}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y = \frac{1 \cdot y_1 + 2 \cdot y_{M_A}}{2+1} = \frac{y_1 + 2 \cdot \left(\frac{y_2 + y_3}{2}\right)}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Таким образом, формулы для координат точки пересечения медиан доказаны.

Ответ: Координаты точки пересечения медиан $(x;y)$ определяются по формулам $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ и $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.

Теперь используем эти формулы, чтобы найти координаты точки пересечения медиан для заданных треугольников.

1) Дан треугольник с вершинами в точках $A(3; 1)$, $B(-1; 4)$, $C(1; 1)$.

Находим координаты точки пересечения медиан $O(x; y)$:

$x = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{1 + 4 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: $(1; 2)$.

2) Дан треугольник с вершинами в точках $A(-2; 3)$, $B(5; -2)$, $C(-3; -1)$.

Находим координаты точки пересечения медиан $O(x; y)$:

$x = \frac{-2 + 5 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$y = \frac{3 + (-2) + (-1)}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: $(0; 0)$.