Номер 4.29, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Обозначим длины его смежных сторон как $a$ и $b$, то есть $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Диагонали параллелограмма обозначим как $d_1$ и $d_2$, где $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Пусть угол при вершине $A$ равен $\alpha$, то есть $\angle DAB = \alpha$. Поскольку сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то угол при вершине $B$ будет равен $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABD$ для нахождения квадрата диагонали $BD = d_2$:

$d_2^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

Подставив наши обозначения, получим:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для нахождения квадрата диагонали $AC = d_1$:

$d_1^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

Подставив наши обозначения, получим:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, преобразуем выражение:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\alpha)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)) + (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))$

Члены $2ab \cos(\alpha)$ и $-2ab \cos(\alpha)$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна $AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$.

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для параллелограмма со сторонами $a, b$ и диагоналями $d_1, d_2$ справедливо равенство: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.