Вопросы, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под уравнением фигуры?

2. Как записывается уравнение прямой, заданной с угловым коэффициентом?

3. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две заданные точки? Приведите пример.

4. Как записывается уравнение окружности? Как определяются координаты центра и радиус окружности? Приведите пример.

1. Что вы понимаете под уравнением фигуры?
Уравнение фигуры на плоскости — это уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей этой фигуре, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, которая этой фигуре не принадлежит. Другими словами, если точка $M(x_0, y_0)$ лежит на фигуре, то при подстановке её координат в уравнение фигуры мы получим верное равенство. И наоборот, если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением уравнения, то точка $M$ с этими координатами принадлежит данной фигуре. Таким образом, уравнение алгебраически описывает геометрическое место точек, образующих фигуру.
Ответ: Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек данной фигуры и только они.

2. Как записывается уравнение прямой, заданной с угловым коэффициентом?
Уравнение прямой, заданной с угловым коэффициентом, имеет вид:
$y = kx + b$
В этом уравнении:
- $k$ — это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$). Он показывает, насколько быстро изменяется $y$ при изменении $x$.
- $b$ — это свободный член, который равен ординате точки пересечения прямой с осью ординат (осью $Oy$). То есть, это точка с координатами $(0, b)$.
- $x$ и $y$ — это переменные, представляющие координаты любой точки, лежащей на этой прямой.
Ответ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом записывается в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

3. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две заданные точки? Приведите пример.
Если прямая проходит через две заданные точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, причём $x_1 \ne x_2$ и $y_1 \ne y_2$, то её уравнение можно записать в следующем виде:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Это уравнение выводится из подобия треугольников. Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна и её уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна и её уравнение $y = y_1$.

Пример:
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $A(2, 5)$ и $B(4, 9)$.
Здесь $x_1 = 2$, $y_1 = 5$, $x_2 = 4$, $y_2 = 9$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 5}{9 - 5}$
Упростим знаменатели:
$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 5}{4}$
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:
$2(x - 2) = y - 5$
$2x - 4 = y - 5$
Выразим $y$ для получения уравнения с угловым коэффициентом:
$y = 2x - 4 + 5$
$y = 2x + 1$
Ответ: Уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, записывается как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Пример уравнения для точек $A(2, 5)$ и $B(4, 9)$ — это $y = 2x + 1$.

4. Как записывается уравнение окружности? Как определяются координаты центра и радиус окружности? Приведите пример.
Уравнение окружности с центром в точке $C(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Это уравнение представляет собой аналитическое выражение того факта, что любая точка $(x, y)$ на окружности находится на одинаковом расстоянии $R$ от центра $(a, b)$, что следует из теоремы Пифагора.

Координаты центра и радиус окружности определяются непосредственно из её уравнения:
- Координаты центра — это пара чисел $(a, b)$. Важно обратить внимание на знаки: если в уравнении стоит $(x - a)$, то абсцисса центра равна $a$; если $(x + a)$, то абсцисса равна $-a$. Аналогично для ординаты $b$.
- Радиус $R$ равен квадратному корню из числа, стоящего в правой части уравнения. $R = \sqrt{R^2}$.

Пример:
Рассмотрим уравнение окружности $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 49$.
- Чтобы найти центр, сравним уравнение с каноническим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
$x - a = x - 5 \implies a = 5$
$y - b = y + 3 = y - (-3) \implies b = -3$
Следовательно, центр окружности находится в точке $C(5, -3)$.
- Чтобы найти радиус, посмотрим на правую часть уравнения:
$R^2 = 49$
$R = \sqrt{49} = 7$
Следовательно, радиус окружности равен 7.
Ответ: Уравнение окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Центр окружности имеет координаты $(a, b)$, а радиус равен $R$. Для уравнения $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 49$ центр находится в точке $(5, -3)$, а радиус равен 7.