Творческая работа, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Творческая работа

Продолжение творческой работы на стр. 91. Найдите:

1) Уравнение прямой, проходящей через города Жезказган и Балкаш (в качестве координат городов возьмите среднее значение по классу).

2) На каком расстоянии расположен центр окружности, проходящий через города Караганды, Жезказган и Балкаш от начала координат?

Поскольку "средние значения по классу" для координат городов неизвестны, для решения задачи воспользуемся приближенными целочисленными координатами, полученными из реальных географических данных (долгота в качестве координаты $x$, широта в качестве $y$).

Примем следующие координаты городов:

• Караганда (К): $(73; 50)$
• Жезказган (Ж): $(68; 48)$
• Балкаш (Б): $(75; 47)$

1) Уравнение прямой, проходящей через города Жезказган и Балкаш

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки Ж( $x_1, y_1$ ) и Б( $x_2, y_2$ ), используем каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты городов Жезказган (68; 48) и Балкаш (75; 47):

$\frac{x - 68}{75 - 68} = \frac{y - 48}{47 - 48}$

$\frac{x - 68}{7} = \frac{y - 48}{-1}$

Используя свойство пропорции, получим:

$-1 \cdot (x - 68) = 7 \cdot (y - 48)$

$-x + 68 = 7y - 336$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x + 7y - 336 - 68 = 0$

$x + 7y - 404 = 0$

Это и есть искомое общее уравнение прямой.

Ответ: $x + 7y - 404 = 0$.

2) На каком расстоянии расположен центр окружности, проходящий через города Караганды, Жезказган и Балкаш от начала координат?

Центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Обозначим центр окружности как O'( $x_c, y_c$ ). Эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника (городов К, Ж, Б).

Расстояние от центра O' до каждой из точек должно быть одинаковым (равно радиусу R):

$O'K^2 = O'Ж^2 = O'Б^2$

Приравняем квадраты расстояний $O'K^2$ и $O'Ж^2$:

$(x_c - x_K)^2 + (y_c - y_K)^2 = (x_c - x_Ж)^2 + (y_c - y_Ж)^2$

$(x_c - 73)^2 + (y_c - 50)^2 = (x_c - 68)^2 + (y_c - 48)^2$

$x_c^2 - 146x_c + 5329 + y_c^2 - 100y_c + 2500 = x_c^2 - 136x_c + 4624 + y_c^2 - 96y_c + 2304$

$-146x_c - 100y_c + 7829 = -136x_c - 96y_c + 6928$

$10x_c + 4y_c = 901$ (1)

Теперь приравняем квадраты расстояний $O'K^2$ и $O'Б^2$:

$(x_c - x_K)^2 + (y_c - y_K)^2 = (x_c - x_Б)^2 + (y_c - y_Б)^2$

$(x_c - 73)^2 + (y_c - 50)^2 = (x_c - 75)^2 + (y_c - 47)^2$

$x_c^2 - 146x_c + 5329 + y_c^2 - 100y_c + 2500 = x_c^2 - 150x_c + 5625 + y_c^2 - 94y_c + 2209$

$-146x_c - 100y_c + 7829 = -150x_c - 94y_c + 7834$

$4x_c - 6y_c = 5$ (2)

Теперь решим систему из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} 10x_c + 4y_c = 901 \\ 4x_c - 6y_c = 5 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от $y_c$:

$\begin{cases} 30x_c + 12y_c = 2703 \\ 8x_c - 12y_c = 10 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$38x_c = 2713 \implies x_c = \frac{2713}{38}$

Подставим $x_c$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y_c$:

$4(\frac{2713}{38}) - 6y_c = 5$

$\frac{5426}{19} - 6y_c = 5 \implies 6y_c = \frac{5426}{19} - 5 = \frac{5426 - 95}{19} = \frac{5331}{19}$

$y_c = \frac{5331}{19 \cdot 6} = \frac{1777}{38}$

Итак, координаты центра окружности: O'( $\frac{2713}{38}, \frac{1777}{38}$ ).

Найдем расстояние $d$ от центра O' до начала координат O(0, 0) по формуле:

$d = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$

$d = \sqrt{(\frac{2713}{38})^2 + (\frac{1777}{38})^2} = \sqrt{\frac{2713^2 + 1777^2}{38^2}} = \frac{\sqrt{7360369 + 3157729}}{38} = \frac{\sqrt{10518098}}{38}$

Вычислим приближенное значение:

$d \approx \frac{3243.16}{38} \approx 85.35$

Ответ: Расстояние от центра окружности до начала координат составляет $d = \frac{\sqrt{10518098}}{38}$ единиц, что приблизительно равно 85.35.