Страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под уравнением фигуры?

2. Как записывается уравнение прямой, заданной с угловым коэффициентом?

3. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две заданные точки? Приведите пример.

4. Как записывается уравнение окружности? Как определяются координаты центра и радиус окружности? Приведите пример.

1. Что вы понимаете под уравнением фигуры?
Уравнение фигуры на плоскости — это уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей этой фигуре, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, которая этой фигуре не принадлежит. Другими словами, если точка $M(x_0, y_0)$ лежит на фигуре, то при подстановке её координат в уравнение фигуры мы получим верное равенство. И наоборот, если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением уравнения, то точка $M$ с этими координатами принадлежит данной фигуре. Таким образом, уравнение алгебраически описывает геометрическое место точек, образующих фигуру.
Ответ: Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек данной фигуры и только они.

2. Как записывается уравнение прямой, заданной с угловым коэффициентом?
Уравнение прямой, заданной с угловым коэффициентом, имеет вид:
$y = kx + b$
В этом уравнении:
- $k$ — это угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$). Он показывает, насколько быстро изменяется $y$ при изменении $x$.
- $b$ — это свободный член, который равен ординате точки пересечения прямой с осью ординат (осью $Oy$). То есть, это точка с координатами $(0, b)$.
- $x$ и $y$ — это переменные, представляющие координаты любой точки, лежащей на этой прямой.
Ответ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом записывается в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

3. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две заданные точки? Приведите пример.
Если прямая проходит через две заданные точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, причём $x_1 \ne x_2$ и $y_1 \ne y_2$, то её уравнение можно записать в следующем виде:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Это уравнение выводится из подобия треугольников. Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна и её уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна и её уравнение $y = y_1$.

Пример:
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $A(2, 5)$ и $B(4, 9)$.
Здесь $x_1 = 2$, $y_1 = 5$, $x_2 = 4$, $y_2 = 9$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 5}{9 - 5}$
Упростим знаменатели:
$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 5}{4}$
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:
$2(x - 2) = y - 5$
$2x - 4 = y - 5$
Выразим $y$ для получения уравнения с угловым коэффициентом:
$y = 2x - 4 + 5$
$y = 2x + 1$
Ответ: Уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, записывается как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Пример уравнения для точек $A(2, 5)$ и $B(4, 9)$ — это $y = 2x + 1$.

4. Как записывается уравнение окружности? Как определяются координаты центра и радиус окружности? Приведите пример.
Уравнение окружности с центром в точке $C(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Это уравнение представляет собой аналитическое выражение того факта, что любая точка $(x, y)$ на окружности находится на одинаковом расстоянии $R$ от центра $(a, b)$, что следует из теоремы Пифагора.

Координаты центра и радиус окружности определяются непосредственно из её уравнения:
- Координаты центра — это пара чисел $(a, b)$. Важно обратить внимание на знаки: если в уравнении стоит $(x - a)$, то абсцисса центра равна $a$; если $(x + a)$, то абсцисса равна $-a$. Аналогично для ординаты $b$.
- Радиус $R$ равен квадратному корню из числа, стоящего в правой части уравнения. $R = \sqrt{R^2}$.

Пример:
Рассмотрим уравнение окружности $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 49$.
- Чтобы найти центр, сравним уравнение с каноническим видом $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
$x - a = x - 5 \implies a = 5$
$y - b = y + 3 = y - (-3) \implies b = -3$
Следовательно, центр окружности находится в точке $C(5, -3)$.
- Чтобы найти радиус, посмотрим на правую часть уравнения:
$R^2 = 49$
$R = \sqrt{49} = 7$
Следовательно, радиус окружности равен 7.
Ответ: Уравнение окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Центр окружности имеет координаты $(a, b)$, а радиус равен $R$. Для уравнения $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 49$ центр находится в точке $(5, -3)$, а радиус равен 7.

Творческая работа

Продолжение творческой работы на стр. 91. Найдите:

1) Уравнение прямой, проходящей через города Жезказган и Балкаш (в качестве координат городов возьмите среднее значение по классу).

2) На каком расстоянии расположен центр окружности, проходящий через города Караганды, Жезказган и Балкаш от начала координат?

Поскольку "средние значения по классу" для координат городов неизвестны, для решения задачи воспользуемся приближенными целочисленными координатами, полученными из реальных географических данных (долгота в качестве координаты $x$, широта в качестве $y$).

Примем следующие координаты городов:

• Караганда (К): $(73; 50)$
• Жезказган (Ж): $(68; 48)$
• Балкаш (Б): $(75; 47)$

1) Уравнение прямой, проходящей через города Жезказган и Балкаш

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки Ж( $x_1, y_1$ ) и Б( $x_2, y_2$ ), используем каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты городов Жезказган (68; 48) и Балкаш (75; 47):

$\frac{x - 68}{75 - 68} = \frac{y - 48}{47 - 48}$

$\frac{x - 68}{7} = \frac{y - 48}{-1}$

Используя свойство пропорции, получим:

$-1 \cdot (x - 68) = 7 \cdot (y - 48)$

$-x + 68 = 7y - 336$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x + 7y - 336 - 68 = 0$

$x + 7y - 404 = 0$

Это и есть искомое общее уравнение прямой.

Ответ: $x + 7y - 404 = 0$.

2) На каком расстоянии расположен центр окружности, проходящий через города Караганды, Жезказган и Балкаш от начала координат?

Центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Обозначим центр окружности как O'( $x_c, y_c$ ). Эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника (городов К, Ж, Б).

Расстояние от центра O' до каждой из точек должно быть одинаковым (равно радиусу R):

$O'K^2 = O'Ж^2 = O'Б^2$

Приравняем квадраты расстояний $O'K^2$ и $O'Ж^2$:

$(x_c - x_K)^2 + (y_c - y_K)^2 = (x_c - x_Ж)^2 + (y_c - y_Ж)^2$

$(x_c - 73)^2 + (y_c - 50)^2 = (x_c - 68)^2 + (y_c - 48)^2$

$x_c^2 - 146x_c + 5329 + y_c^2 - 100y_c + 2500 = x_c^2 - 136x_c + 4624 + y_c^2 - 96y_c + 2304$

$-146x_c - 100y_c + 7829 = -136x_c - 96y_c + 6928$

$10x_c + 4y_c = 901$ (1)

Теперь приравняем квадраты расстояний $O'K^2$ и $O'Б^2$:

$(x_c - x_K)^2 + (y_c - y_K)^2 = (x_c - x_Б)^2 + (y_c - y_Б)^2$

$(x_c - 73)^2 + (y_c - 50)^2 = (x_c - 75)^2 + (y_c - 47)^2$

$x_c^2 - 146x_c + 5329 + y_c^2 - 100y_c + 2500 = x_c^2 - 150x_c + 5625 + y_c^2 - 94y_c + 2209$

$-146x_c - 100y_c + 7829 = -150x_c - 94y_c + 7834$

$4x_c - 6y_c = 5$ (2)

Теперь решим систему из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} 10x_c + 4y_c = 901 \\ 4x_c - 6y_c = 5 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы избавиться от $y_c$:

$\begin{cases} 30x_c + 12y_c = 2703 \\ 8x_c - 12y_c = 10 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$38x_c = 2713 \implies x_c = \frac{2713}{38}$

Подставим $x_c$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y_c$:

$4(\frac{2713}{38}) - 6y_c = 5$

$\frac{5426}{19} - 6y_c = 5 \implies 6y_c = \frac{5426}{19} - 5 = \frac{5426 - 95}{19} = \frac{5331}{19}$

$y_c = \frac{5331}{19 \cdot 6} = \frac{1777}{38}$

Итак, координаты центра окружности: O'( $\frac{2713}{38}, \frac{1777}{38}$ ).

Найдем расстояние $d$ от центра O' до начала координат O(0, 0) по формуле:

$d = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$

$d = \sqrt{(\frac{2713}{38})^2 + (\frac{1777}{38})^2} = \sqrt{\frac{2713^2 + 1777^2}{38^2}} = \frac{\sqrt{7360369 + 3157729}}{38} = \frac{\sqrt{10518098}}{38}$

Вычислим приближенное значение:

$d \approx \frac{3243.16}{38} \approx 85.35$

Ответ: Расстояние от центра окружности до начала координат составляет $d = \frac{\sqrt{10518098}}{38}$ единиц, что приблизительно равно 85.35.

4.33. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $A(-1; 1)$ и $B(1; 0)$.

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), можно воспользоваться каноническим уравнением прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

В условии задачи даны точки A(-1; 1) и B(1; 0). Подставим их координаты в формулу, где $x_1 = -1$, $y_1 = 1$, $x_2 = 1$ и $y_2 = 0$:

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 1}{0 - 1}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{x + 1}{1 + 1} = \frac{y - 1}{-1}$

$\frac{x + 1}{2} = -(y - 1)$

Теперь преобразуем это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$\frac{x + 1}{2} = -y + 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$x + 1 = 2(-y + 1)$

$x + 1 = -2y + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x + 2y + 1 - 2 = 0$

$x + 2y - 1 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой в общем виде.

Также можно представить это уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$. Для этого выразим $y$ из общего уравнения:

$2y = -x + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Проверка:

Подставим координаты точки A(-1; 1) в уравнение $x + 2y - 1 = 0$:

$(-1) + 2(1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Равенство выполняется.

Подставим координаты точки B(1; 0) в уравнение $x + 2y - 1 = 0$:

$(1) + 2(0) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$. Равенство выполняется.

Оба уравнения, $x + 2y - 1 = 0$ и $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, являются правильными и эквивалентными.

Ответ: $x + 2y - 1 = 0$ (или $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$).

4.34. Напишите уравнение прямых, проходящих через точки:

1) $A(1; -1)$ $B(-3; 2)$;

2) $C(2; 5)$; $D(5; 2)$.

1) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), можно воспользоваться каноническим уравнением прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим в эту формулу координаты точек A(1; -1) и B(-3; 2):

$x_1 = 1$, $y_1 = -1$

$x_2 = -3$, $y_2 = 2$

Получаем:

$\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-1)}{2 - (-1)}$

$\frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 1}{3}$

Теперь преобразуем полученное уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$. Для этого воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x - 1) = -4(y + 1)$

Раскроем скобки:

$3x - 3 = -4y - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$3x + 4y - 3 + 4 = 0$

$3x + 4y + 1 = 0$

Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $3x + 4y + 1 = 0$.

2) Аналогично найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(2; 5) и D(5; 2).

Подставим координаты этих точек в каноническое уравнение прямой:

$x_1 = 2$, $y_1 = 5$

$x_2 = 5$, $y_2 = 2$

Получаем:

$\frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{y - 5}{2 - 5}$

$\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 5}{-3}$

Выполним преобразование, используя перекрестное умножение:

$-3(x - 2) = 3(y - 5)$

Можно упростить уравнение, разделив обе его части на 3:

$-(x - 2) = y - 5$

Раскроем скобки:

$-x + 2 = y - 5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение в общем виде:

$x + y - 5 - 2 = 0$

$x + y - 7 = 0$

Это искомое уравнение прямой.

Ответ: $x + y - 7 = 0$.

4.35. Определите точки пересечения с осями координат прямых, заданных следующими уравнениями:

1) $x + 2y + 3 = 0;$

2) $3x + 4y = 12;$

3) $3x - 2y + 6 = 0;$

4) $4x - 2y - 10 = 0;$

5) $3x - 4y + 1 = 0;$

6) $x - y = 0.$

1) Для уравнения $x + 2y + 3 = 0$:

Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (Ox), подставляем $y=0$ в уравнение:
$x + 2 \cdot 0 + 3 = 0$
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Точка пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$.

Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (Oy), подставляем $x=0$ в уравнение:
$0 + 2y + 3 = 0$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2} = -1.5$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1.5)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-3, 0)$ и $(0, -1.5)$.

2) Для уравнения $3x + 4y = 12$:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x + 4 \cdot 0 = 12$
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3} = 4$
Точка пересечения с осью Ox: $(4, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 + 4y = 12$
$4y = 12$
$y = \frac{12}{4} = 3$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(4, 0)$ и $(0, 3)$.

3) Для уравнения $3x - 2y + 6 = 0$:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x - 2 \cdot 0 + 6 = 0$
$3x + 6 = 0$
$3x = -6$
$x = -\frac{6}{3} = -2$
Точка пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 - 2y + 6 = 0$
$-2y + 6 = 0$
$-2y = -6$
$y = \frac{-6}{-2} = 3$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-2, 0)$ и $(0, 3)$.

4) Для уравнения $4x - 2y - 10 = 0$:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$4x - 2 \cdot 0 - 10 = 0$
$4x - 10 = 0$
$4x = 10$
$x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$
Точка пересечения с осью Ox: $(2.5, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$4 \cdot 0 - 2y - 10 = 0$
$-2y - 10 = 0$
$-2y = 10$
$y = \frac{10}{-2} = -5$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(2.5, 0)$ и $(0, -5)$.

5) Для уравнения $3x - 4y + 1 = 0$:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$3x - 4 \cdot 0 + 1 = 0$
$3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{1}{3}, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$3 \cdot 0 - 4y + 1 = 0$
$-4y + 1 = 0$
$-4y = -1$
$y = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, \frac{1}{4})$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(0, \frac{1}{4})$.

6) Для уравнения $x - y = 0$:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$x - 0 = 0$
$x = 0$
Точка пересечения с осью Ox: $(0, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$0 - y = 0$
$y = 0$
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Так как обе точки пересечения совпадают и являются началом координат, прямая проходит через начало координат.

Ответ: прямая пересекает обе оси в одной точке - начале координат $(0, 0)$.

4.36. Найдите точки пересечения прямых, заданных следующими уравнениями:

1) $4x + 3y - 6 = 0$ и $2x + y - 4 = 0;$

2) $x + 2y + 3 = 0$ и $4x + 5y + 6 = 0;$

3) $3x - y - 2 = 0$ и $2x + y - 8 = 0;$

4) $4x + 5y + 8 = 0$ и $4x - 2y - 6 = 0.$

1)

Для нахождения точки пересечения прямых $4x + 3y - 6 = 0$ и $2x + y - 4 = 0$ необходимо решить систему этих уравнений:

$$ \begin{cases} 4x + 3y - 6 = 0 \\ 2x + y - 4 = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 4 - 2x$
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$4x + 3(4 - 2x) - 6 = 0$
$4x + 12 - 6x - 6 = 0$
$-2x + 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(3, -2)$.

Ответ: $(3, -2)$.

2)

Для нахождения точки пересечения прямых $x + 2y + 3 = 0$ и $4x + 5y + 6 = 0$ решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ 4x + 5y + 6 = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = -2y - 3$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4(-2y - 3) + 5y + 6 = 0$
$-8y - 12 + 5y + 6 = 0$
$-3y - 6 = 0$
$-3y = 6$
$y = -2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = -2(-2) - 3 = 4 - 3 = 1$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

3)

Для нахождения точки пересечения прямых $3x - y - 2=0$ и $2x + y - 8 = 0$ решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y - 2 = 0 \\ 2x + y - 8 = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - y - 2) + (2x + y - 8) = 0 + 0$
$5x - 10 = 0$
$5x = 10$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2(2) + y - 8 = 0$
$4 + y - 8 = 0$
$y - 4 = 0$
$y = 4$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2, 4)$.

Ответ: $(2, 4)$.

4)

Для нахождения точки пересечения прямых $4x + 5y + 8 = 0$ и $4x - 2y - 6 = 0$ решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 4x + 5y + 8 = 0 \\ 4x - 2y - 6 = 0 \end{cases} $$

Воспользуемся методом вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ равны. Вычтем второе уравнение из первого:
$(4x + 5y + 8) - (4x - 2y - 6) = 0 - 0$
$4x + 5y + 8 - 4x + 2y + 6 = 0$
$7y + 14 = 0$
$7y = -14$
$y = -2$
Подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$4x - 2(-2) - 6 = 0$
$4x + 4 - 6 = 0$
$4x - 2 = 0$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{1}{2}, -2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, -2)$.