Страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Основание треугольника равно 26 см, а медианы, проведенные к боковым сторонам, равны 30 см и 39 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a, b, c$ напротив вершин $A, B, C$ соответственно. Пусть основание треугольника – это сторона $AC=b=26$ см. Тогда боковыми сторонами являются $BC=a$ и $AB=c$.

Медианы, проведенные к боковым сторонам, – это медиана $m_a$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, и медиана $m_c$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. По условию задачи, их длины равны 30 см и 39 см. Пусть $m_a = 39$ см и $m_c = 30$ см.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой $O$. Ключевое свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Таким образом, для медиан $m_a$ (отрезок $AM_a$, где $M_a$ – середина $BC$) и $m_c$ (отрезок $CM_c$, где $M_c$ – середина $AB$) мы имеем следующие длины отрезков от вершин до центроида:
$AO = \frac{2}{3} m_a = \frac{2}{3} \cdot 39 = 26$ см.
$CO = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Его стороны нам известны: $AC = 26$ см (основание исходного треугольника), $AO = 26$ см и $CO = 20$ см.

Мы можем найти площадь треугольника $AOC$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ – полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ – длины сторон.
Найдем полупериметр треугольника $AOC$:
$p = \frac{AC + AO + CO}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $AOC$:
$S_{AOC} = \sqrt{36 \cdot (36-26) \cdot (36-26) \cdot (36-20)} = \sqrt{36 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 16} = \sqrt{57600}$
$S_{AOC} = \sqrt{576 \cdot 100} = \sqrt{24^2 \cdot 10^2} = 24 \cdot 10 = 240$ см$^2$.

Другое важное свойство медиан заключается в том, что отрезки, соединяющие вершины с центроидом, делят исходный треугольник на три треугольника равной площади. То есть, площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $AOC$, $AOB$ и $COB$, причем все эти три площади равны между собой.
$S_{AOC} = S_{AOB} = S_{COB} = \frac{1}{3} S_{ABC}$.

Следовательно, площадь всего треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $AOC$:
$S_{ABC} = 3 \cdot S_{AOC} = 3 \cdot 240 = 720$ см$^2$.

Ответ: 720 см$^2$.

5.16. Медианы треугольника 3 см, 4 см, 5 см. Найдите площадь треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей площадь треугольника $S$ с длинами его медиан $m_a, m_b, m_c$. Площадь треугольника составляет 4/3 от площади треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника.

Обозначим площадь треугольника, построенного на медианах, как $S_m$. Тогда площадь исходного треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{4}{3} S_m$

Сначала найдем площадь треугольника со сторонами, равными медианам: 3 см, 4 см и 5 см. Обозначим эти стороны как $a' = 3$ см, $b' = 4$ см, $c' = 5$ см.

Заметим, что эти длины образуют Пифагорову тройку, так как выполняется равенство:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$5^2 = 25$

Поскольку $3^2 + 4^2 = 5^2$, треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным, где катеты равны 3 см и 4 см, а гипотенуза - 5 см.

Площадь этого прямоугольного треугольника ($S_m$) можно найти как половину произведения его катетов:

$S_m = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$ см².

Теперь, зная площадь треугольника, образованного медианами, мы можем вычислить площадь исходного треугольника:

$S = \frac{4}{3} \cdot S_m = \frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot \frac{6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

5.17. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются с биссектрисами углов $B$ и $D$ в четырех точках. Докажите, что все эти точки лежат на одной окружности.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, а $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ — его внутренние углы. Известно, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Обозначим биссектрисы углов $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ как $l_A, l_B, l_C, l_D$ соответственно. Согласно условию, эти биссектрисы, пересекаясь, образуют четыре точки. Обозначим эти точки как $P$ (пересечение $l_A$ и $l_B$), $Q$ (пересечение $l_B$ и $l_C$), $R$ (пересечение $l_C$ и $l_D$) и $S$ (пересечение $l_D$ и $l_A$). Эти четыре точки $P, Q, R, S$ образуют четырехугольник.

Чтобы доказать, что все эти точки лежат на одной окружности, необходимо показать, что четырехугольник $PQRS$ является вписанным в окружность. Для этого достаточно доказать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $\angle SPQ$ и $\angle QRS$.

Угол $\angle SPQ$ образован пересечением биссектрис $l_A$ и $l_B$. Этот угол является вертикальным к углу $\angle APB$ в треугольнике $\triangle APB$, образованном вершинами $A, B$ и точкой пересечения биссектрис $P$. В треугольнике $\triangle APB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов четырехугольника $ABCD$: $\angle PAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle PBA = \frac{\angle B}{2}$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle APB$ равен:
$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$.
Так как $\angle SPQ = \angle APB$ (как вертикальные), то $\angle SPQ = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$.

Аналогично, угол $\angle QRS$ образован пересечением биссектрис $l_C$ и $l_D$. Он вертикален углу $\angle CRD$ в треугольнике $\triangle CRD$. Углы этого треугольника при вершинах $C$ и $D$ равны $\angle RCD = \frac{\angle C}{2}$ и $\angle RDC = \frac{\angle D}{2}$.
Тогда угол $\angle CRD$ равен:
$\angle CRD = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) = 180^\circ - \left(\frac{\angle C}{2} + \frac{\angle D}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}$.
Так как $\angle QRS = \angle CRD$, то $\angle QRS = 180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}$.

Теперь найдем сумму противолежащих углов $\angle SPQ$ и $\angle QRS$ четырехугольника $PQRS$:
$\angle SPQ + \angle QRS = \left(180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}\right) + \left(180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}\right)$
$\angle SPQ + \angle QRS = 360^\circ - \frac{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D}{2}$.

Используя тот факт, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$, подставим это значение в полученное выражение:
$\angle SPQ + \angle QRS = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма противолежащих углов четырехугольника $PQRS$ равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, все его вершины $P, Q, R, S$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противоположных углов четырехугольника, образованного точками пересечения биссектрис, равна $180^\circ$, следовательно, он является вписанным, и все четыре точки лежат на одной окружности.

5.18. Две стороны треугольника равны 14 см и 35 см, а биссектриса между ними – 12 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 14$ см и $b = 35$ см, а также длина биссектрисы $l = 12$ см угла $\gamma$ между этими сторонами. Требуется найти площадь треугольника $S$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

Для нахождения площади нам нужно определить значение $\sin\gamma$.

Биссектриса $l$ делит угол $\gamma$ на два равных угла $\alpha = \frac{\gamma}{2}$. Таким образом, $\gamma = 2\alpha$.

Площадь исходного треугольника можно также представить как сумму площадей двух меньших треугольников, на которые его делит биссектриса. Первый треугольник образован сторонами $a$ и $l$ с углом $\alpha$ между ними, а второй — сторонами $b$ и $l$ также с углом $\alpha$ между ними.

Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2}al \sin\alpha$.

Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2}bl \sin\alpha$.

Площадь всего треугольника равна сумме этих площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}al \sin\alpha + \frac{1}{2}bl \sin\alpha = \frac{1}{2}(a+b)l \sin\alpha$

Теперь у нас есть два выражения для площади $S$. Приравняем их:

$\frac{1}{2}ab \sin\gamma = \frac{1}{2}(a+b)l \sin\alpha$

Заменим $\gamma$ на $2\alpha$ и воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$:

$\frac{1}{2}ab (2\sin\alpha \cos\alpha) = \frac{1}{2}(a+b)l \sin\alpha$

Поскольку $\alpha$ — это половина угла треугольника, $\alpha$ находится в интервале $(0, 90^\circ)$, и, следовательно, $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}\sin\alpha$:

$2ab \cos\alpha = (a+b)l$

Из этого уравнения выразим $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{(a+b)l}{2ab}$

Подставим известные значения $a=14$, $b=35$ и $l=12$:

$\cos\alpha = \frac{(14+35) \cdot 12}{2 \cdot 14 \cdot 35} = \frac{49 \cdot 12}{980} = \frac{588}{980}$

Упростим полученную дробь:

$\cos\alpha = \frac{588 \div 196}{980 \div 196} = \frac{3}{5}$

Теперь, зная косинус угла $\alpha$, найдем его синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Так как угол $\alpha$ острый, его синус положителен:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника. Найдем $\sin\gamma$:

$\sin\gamma = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

Подставим найденное значение в формулу площади:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 35 \cdot \frac{24}{25} = 7 \cdot 35 \cdot \frac{24}{25} = 7 \cdot \frac{7 \cdot 5}{1} \cdot \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 24}{5} = \frac{49 \cdot 24}{5} = \frac{1176}{5} = 235.2$ см².

Ответ: 235,2 см².

5.19. Найдите множество всех точек, расстояния которых от двух данных точек на плоскости находятся в отношении $m : n$.

Пусть на плоскости даны две различные точки A и B. Мы ищем геометрическое место точек M, для которых отношение расстояний MA к MB постоянно и равно $m:n$. Обозначим это отношение как $k = \frac{m}{n}$, где $m > 0$ и $n > 0$, следовательно, $k > 0$. Условие задачи можно записать в виде $\frac{MA}{MB} = k$. Рассмотрим два возможных случая в зависимости от значения $k$.

Если $m = n$, то отношение $k = m/n = 1$. Условие принимает вид $\frac{MA}{MB} = 1$, или $MA = MB$. Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, по определению является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Это прямая, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.

Ответ: Если $m = n$, искомое множество точек — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Если $m \neq n$, то $k = m/n \neq 1$. Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Введем на плоскости декартову систему координат. Для удобства разместим точки A и B на оси Ox симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между A и B равно $2a$. Тогда точки будут иметь координаты $A(-a, 0)$ и $B(a, 0)$. Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

Расстояние от точки M до точки A вычисляется по формуле: $MA = \sqrt{(x - (-a))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+a)^2 + y^2}$.

Расстояние от точки M до точки B: $MB = \sqrt{(x - a)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x-a)^2 + y^2}$.

Согласно условию задачи, $\frac{MA}{MB} = k$, или $MA = k \cdot MB$. Так как расстояния являются неотрицательными величинами, мы можем возвести обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней: $MA^2 = k^2 \cdot MB^2$.

Подставим выражения для квадратов расстояний в это уравнение:

$(x+a)^2 + y^2 = k^2 \left[ (x-a)^2 + y^2 \right]$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = k^2(x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$

$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = k^2x^2 - 2k^2ax + k^2a^2 + k^2y^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их по переменным $x$ и $y$:

$(1 - k^2)x^2 + 2ax(1 + k^2) + (1 - k^2)y^2 + a^2(1 - k^2) = 0$

Поскольку мы рассматриваем случай $k \neq 1$, то $1 - k^2 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить все уравнение на $(1 - k^2)$:

$x^2 + 2a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}x + y^2 + a^2 = 0$

Полученное уравнение является уравнением окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$\left(x^2 + 2a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}x + \left(a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2\right) - \left(a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2 + y^2 + a^2 = 0$

$\left(x + a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2 + y^2 = a^2\left(\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2 - a^2$

Преобразуем правую часть, чтобы найти квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = a^2 \left[ \frac{(1 + k^2)^2}{(1 - k^2)^2} - 1 \right] = a^2 \frac{(1 + k^2)^2 - (1 - k^2)^2}{(1 - k^2)^2} = a^2 \frac{(1 + 2k^2 + k^4) - (1 - 2k^2 + k^4)}{(1 - k^2)^2} = a^2 \frac{4k^2}{(1 - k^2)^2}$

Таким образом, мы получили каноническое уравнение окружности:

$\left(x - a\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{2ak}{|k^2 - 1|}\right)^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $C\left(a\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}, 0\right)$ и радиусом $R = \frac{2ak}{|k^2 - 1|}$.

Эта окружность известна как окружность Аполлония. Её центр лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Диаметром этой окружности является отрезок PQ, где P и Q — это точки, делящие отрезок AB внутренним и внешним образом в отношении $m:n$.

Ответ: Если $m \neq n$, искомое множество точек — это окружность (окружность Аполлония).

5.20. В треугольнике из одной вершины проведены высота и медиана, которые делят этот угол на три равные части. Найдите углы треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$ к стороне $BC$. По условию, они делят угол $\angle BAC$ на три равные части. Обозначим величину каждой из этих частей через $\alpha$. Таким образом, $\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = \alpha$. Весь угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 3\alpha$.

Поскольку высота $AH$ и медиана $AM$ не совпадают, треугольник не является равнобедренным относительно вершины $A$. Предположим, что точка $H$ лежит между точками $B$ и $M$. Это означает, что угол $\angle B$ должен быть больше угла $\angle C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, поэтому $\angle B = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. Угол $\angle CAH$ складывается из двух частей: $\angle CAH = \angle HAM + \angle MAC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Тогда угол $\angle C$ равен $\angle C = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - 2\alpha$.

Заметим, что сумма углов треугольника $ABC$ составляет $\angle A + \angle B + \angle C = 3\alpha + (90^\circ - \alpha) + (90^\circ - 2\alpha) = 180^\circ$. Это тождество подтверждает корректность наших выражений для углов, но не позволяет найти $\alpha$.

Для нахождения $\alpha$ воспользуемся свойством медианы и теоремой синусов. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. Поскольку $AM$ — медиана, то отрезки $BM$ и $MC$ равны: $BM = MC$.Применим теорему синусов к $\triangle ABM$:$\frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle B)}$Угол $\angle BAM = \angle BAH + \angle HAM = 2\alpha$.$\frac{BM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(B)}$

Применим теорему синусов к $\triangle ACM$:$\frac{MC}{\sin(\angle CAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle C)}$Угол $\angle CAM = \alpha$.$\frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{AM}{\sin(C)}$

Так как $BM = MC$, мы можем приравнять выражения, полученные для этих отрезков из двух пропорций:$\frac{AM \sin(2\alpha)}{\sin(B)} = \frac{AM \sin(\alpha)}{\sin(C)}$Сократив на $AM$ (длина медианы не равна нулю), получаем:$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(B)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(C)}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, перепишем соотношение:$\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(B)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(C)}$Поскольку $\alpha$ — это часть угла треугольника, $\alpha \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$. Значит, можно сократить на $\sin(\alpha)$:$\frac{2\cos(\alpha)}{\sin(B)} = \frac{1}{\sin(C)}$, откуда следует, что $\sin(B) = 2\cos(\alpha)\sin(C)$.

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $B$ и $C$ через $\alpha$: $B = 90^\circ - \alpha$ и $C = 90^\circ - 2\alpha$.$\sin(90^\circ - \alpha) = 2\cos(\alpha)\sin(90^\circ - 2\alpha)$Используя формулы приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:$\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\cos(2\alpha)$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и решим его:$\cos(\alpha) - 2\cos(\alpha)\cos(2\alpha) = 0$$\cos(\alpha)(1 - 2\cos(2\alpha)) = 0$Это уравнение дает два возможных случая:

1. $\cos(\alpha) = 0$. Это означает, что $\alpha = 90^\circ$. В этом случае угол $\angle B = 90^\circ - 90^\circ = 0$, что невозможно для треугольника.
2. $1 - 2\cos(2\alpha) = 0$, что приводит к $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.

Поскольку все углы треугольника должны быть положительными, $\angle C = 90^\circ - 2\alpha > 0$, откуда $2\alpha < 90^\circ$, то есть $\alpha < 45^\circ$.Единственное решение уравнения $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$ в интервале $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$ — это $2\alpha = 60^\circ$.Отсюда находим $\alpha = 30^\circ$.

Зная $\alpha$, мы можем вычислить все углы треугольника:

• $\angle A = 3\alpha = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$
• $\angle B = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
• $\angle C = 90^\circ - 2\alpha = 90^\circ - 2 \times 30^\circ = 30^\circ$

Ответ: углы треугольника равны $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

5.21. Внутри треугольника ABC взята точка P так, чтобы выполнялось равенство $S_{ABP} = S_{ACP} = S_{BCP}$. Докажите, что точка P является точкой пересечения медиан треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ существует точка $P$, такая что площади треугольников $\triangle ABP$, $\triangle ACP$ и $\triangle BCP$ равны. Обозначим эту площадь как $S$. Таким образом, $S_{ABP} = S_{ACP} = S_{BCP} = S$.Общая площадь треугольника $ABC$ равна сумме этих трех площадей: $S_{ABC} = S_{ABP} + S_{ACP} + S_{BCP} = 3S$.

Проведем луч $AP$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $M$. Нам нужно доказать, что $AM$ является медианой, то есть что точка $M$ — середина отрезка $BC$.Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим ее $h_A$. Площади этих треугольников относятся как их основания:$$ \frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_A} = \frac{BM}{CM} $$Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle PBM$ и $\triangle PCM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $P$ к стороне $BC$. Обозначим ее $h_P$. Площади этих треугольников также относятся как их основания:$$ \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_P}{\frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_P} = \frac{BM}{CM} $$Из этих двух равенств следует, что $\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}}$.

Площадь $\triangle ABM$ можно представить как сумму площадей $S_{ABM} = S_{ABP} + S_{PBM}$.Площадь $\triangle ACM$ можно представить как сумму площадей $S_{ACM} = S_{ACP} + S_{PCM}$.Подставим это в полученное соотношение:$$ \frac{S_{ABP} + S_{PBM}}{S_{ACP} + S_{PCM}} = \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}} $$По условию задачи $S_{ABP} = S_{ACP} = S$. Подставим это значение:$$ \frac{S + S_{PBM}}{S + S_{PCM}} = \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}} $$Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:$$ S_{PCM} \cdot (S + S_{PBM}) = S_{PBM} \cdot (S + S_{PCM}) $$$$ S \cdot S_{PCM} + S_{PCM} \cdot S_{PBM} = S \cdot S_{PBM} + S_{PBM} \cdot S_{PCM} $$$$ S \cdot S_{PCM} = S \cdot S_{PBM} $$Поскольку $S \neq 0$, мы можем сократить на $S$, получая $S_{PBM} = S_{PCM}$.

Так как $S_{PBM} = S_{PCM}$ и у этих треугольников общая высота $h_P$ из вершины $P$, их основания должны быть равны: $BM = CM$.Это доказывает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$, а следовательно, отрезок $AM$ — медиана треугольника $ABC$.

Теперь докажем, что точка $P$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle PBM$. У них общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AM$. Следовательно, их площади относятся как длины оснований $AP$ и $PM$:$$ \frac{S_{ABP}}{S_{PBM}} = \frac{AP}{PM} $$Мы знаем, что $S_{BCP} = S_{PBM} + S_{PCM}$. Поскольку мы доказали, что $S_{PBM} = S_{PCM}$, то $S_{BCP} = 2 \cdot S_{PBM}$.По условию $S_{ABP} = S_{BCP}$, значит $S_{ABP} = 2 \cdot S_{PBM}$.Подставим это в соотношение площадей:$$ \frac{2 \cdot S_{PBM}}{S_{PBM}} = \frac{AP}{PM} $$$$ \frac{AP}{PM} = 2 $$Это означает, что точка $P$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$.

Аналогичные рассуждения можно провести для лучей $BP$ и $CP$. Мы получим, что точка $P$ лежит на медианах, проведенных из вершин $B$ и $C$, и делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины.Точка пересечения медиан треугольника (центроид) является единственной точкой, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$. Следовательно, точка $P$ и есть точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $P$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$.

5.22. Две прямые, проведенные параллельно сторонам параллелограмма, пересекаясь на его диагонали, делят параллелограмм на 4 части. Докажите, что части, расположенные по обе стороны от диагонали, равновелики.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$. На этой диагонали выберем произвольную точку $K$.

Через точку $K$ проведем две прямые, параллельные сторонам параллелограмма:

• Прямую, параллельную стороне $AD$. Пусть она пересекает сторону $AB$ в точке $G$ и сторону $DC$ в точке $H$.
• Прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть она пересекает сторону $AD$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$.

Эти две прямые, пересекаясь в точке $K$, делят исходный параллелограмм $ABCD$ на четыре меньших параллелограмма: $AGKE$, $GBFK$, $FCHK$ и $EKHD$.

Диагональ $AC$ проходит через общие вершины малых параллелограммов $A$, $K$ и $C$. Таким образом, она является составной диагональю для параллелограммов $AGKE$ и $FCHK$. Части, расположенные по обе стороны от диагонали $AC$ (то есть те, которые она не пересекает), — это параллелограммы $GBFK$ и $EKHD$. Требуется доказать, что они равновелики, то есть их площади равны: $S_{GBFK} = S_{EKHD}$.

Доказательство строится на свойстве диагонали параллелограмма, которая делит его на два треугольника равной площади.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника: $ΔABC$ и $ΔADC$.
Следовательно, $S_{ΔABC} = S_{ΔADC}$.

2. Рассмотрим параллелограмм $AGKE$. Отрезок $AK$ является его диагональю. Значит, он делит его на два равновеликих треугольника: $ΔAGK$ и $ΔAEK$.
Следовательно, $S_{ΔAGK} = S_{ΔAEK}$.

3. Рассмотрим параллелограмм $FCHK$. Отрезок $KC$ является его диагональю. Аналогично, он делит его на два равновеликих треугольника: $ΔKFC$ и $ΔKHC$.
Следовательно, $S_{ΔKFC} = S_{ΔKHC}$.

4. Площадь треугольника $ΔABC$ складывается из площадей трех фигур, на которые он разделен: треугольника $ΔAGK$, параллелограмма $GBFK$ и треугольника $ΔKFC$.
$S_{ΔABC} = S_{ΔAGK} + S_{GBFK} + S_{ΔKFC}$.

5. Аналогично, площадь треугольника $ΔADC$ складывается из площадей треугольника $ΔAEK$, параллелограмма $EKHD$ и треугольника $ΔKHC$.
$S_{ΔADC} = S_{ΔAEK} + S_{EKHD} + S_{ΔKHC}$.

6. Так как $S_{ΔABC} = S_{ΔADC}$, мы можем приравнять правые части выражений из пунктов 4 и 5:
$S_{ΔAGK} + S_{GBFK} + S_{ΔKFC} = S_{ΔAEK} + S_{EKHD} + S_{ΔKHC}$.

7. Используя равенства из пунктов 2 и 3 ($S_{ΔAGK} = S_{ΔAEK}$ и $S_{ΔKFC} = S_{ΔKHC}$), мы можем вычесть равные слагаемые из обеих частей уравнения:
$\cancel{S_{ΔAGK}} + S_{GBFK} + \cancel{S_{ΔKFC}} = \cancel{S_{ΔAEK}} + S_{EKHD} + \cancel{S_{ΔKHC}}$.

В результате получаем искомое равенство:
$S_{GBFK} = S_{EKHD}$.

Таким образом, доказано, что части параллелограмма, расположенные по обе стороны от диагонали, равновелики.

Ответ: Утверждение доказано. Площади частей, расположенных по обе стороны от диагонали, равны.

5.23. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D; $\frac{CD}{BC} = \lambda (\lambda < \frac{1}{2})$. На стороне BC между точками B и D взята точка E так, что выполняется равенство $CD = DE$. Через точку E проведена прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке F. Найдите отношение площади трапеции ACEF к площади треугольника ACD.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$.

Площадь треугольника $ACD$ можно выразить через площадь треугольника $ABC$. Треугольники $ACD$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \frac{CD}{BC}$

По условию задачи, $\frac{CD}{BC} = \lambda$. Следовательно:

$S_{ACD} = \lambda \cdot S_{ABC}$

Теперь найдем площадь трапеции $ACEF$. Фигура $ACEF$ является трапецией, так как по условию прямая $EF$ параллельна прямой $AC$. Площадь этой трапеции можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $BFE$.

$S_{ACEF} = S_{ABC} - S_{BFE}$

Рассмотрим треугольники $BFE$ и $BAC$. Так как $EF \parallel AC$, эти треугольники подобны ($\triangle BFE \sim \triangle BAC$) по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BEF = \angle BCA$ как соответственные при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $BC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{BE}{BC}$

Найдем длину отрезка $BE$. Из условия известно, что:

1. $\frac{CD}{BC} = \lambda$, откуда $CD = \lambda \cdot BC$.

2. $CD = DE$.

3. Точка $E$ лежит на стороне $BC$ между точками $B$ и $D$. Это означает, что порядок точек на прямой: $B-E-D-C$.

Тогда длина отрезка $CE$ равна сумме длин отрезков $CD$ и $DE$:

$CE = CD + DE = 2 \cdot CD = 2 \lambda \cdot BC$

Теперь можем найти длину отрезка $BE$:

$BE = BC - CE = BC - 2 \lambda \cdot BC = (1 - 2\lambda) \cdot BC$

Условие $\lambda < \frac{1}{2}$ гарантирует, что $1 - 2\lambda > 0$, так что длина $BE$ положительна и точка $E$ действительно лежит на отрезке $BC$.

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{BE}{BC} = \frac{(1 - 2\lambda) \cdot BC}{BC} = 1 - 2\lambda$

Теперь найдем отношение площадей треугольников $BFE$ и $ABC$:

$\frac{S_{BFE}}{S_{ABC}} = k^2 = (1 - 2\lambda)^2$

Отсюда, $S_{BFE} = (1 - 2\lambda)^2 \cdot S_{ABC}$.

Подставим это выражение в формулу для площади трапеции $ACEF$:

$S_{ACEF} = S_{ABC} - S_{BFE} = S_{ABC} - (1 - 2\lambda)^2 \cdot S_{ABC} = S_{ABC} \cdot (1 - (1 - 2\lambda)^2)$

Упростим выражение в скобках:

$1 - (1 - 2\lambda)^2 = 1 - (1 - 4\lambda + 4\lambda^2) = 1 - 1 + 4\lambda - 4\lambda^2 = 4\lambda - 4\lambda^2 = 4\lambda(1 - \lambda)$

Таким образом, площадь трапеции равна:

$S_{ACEF} = 4\lambda(1 - \lambda) \cdot S_{ABC}$

Наконец, найдем искомое отношение площади трапеции $ACEF$ к площади треугольника $ACD$:

$\frac{S_{ACEF}}{S_{ACD}} = \frac{4\lambda(1 - \lambda) \cdot S_{ABC}}{\lambda \cdot S_{ABC}}$

Поскольку $\lambda$ - это отношение длин отрезков, $\lambda \ne 0$, и площадь треугольника $S_{ABC} \ne 0$, мы можем сократить $\lambda$ и $S_{ABC}$:

$\frac{S_{ACEF}}{S_{ACD}} = 4(1 - \lambda)$

Ответ: $4(1 - \lambda)$.

5.24. Отрезок $AD$ – высота равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Найдите стороны треугольника, если $S_{ABD} = 4 \text{ см}^2$, $S_{ACD} = 2 \text{ см}^2$.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Отрезок $AD$ — высота треугольника. Так как она проведена из вершины $A$, то она перпендикулярна противолежащей стороне $BC$. Таким образом, $AD \perp BC$, и угол $\angle ADB = 90^\circ$. Поскольку точка $D$ лежит на прямой $BC$, то и смежный с ним угол $\angle ADC$ также равен $90^\circ$.

Высота $AD$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $ABD$ и $ACD$. Площади этих треугольников даны: $S_{ABD} = 4$ см$^2$ и $S_{ACD} = 2$ см$^2$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для треугольников $ABD$ и $ACD$ катет $AD$ является общей высотой, а катеты $BD$ и $CD$ — их основаниями.

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AD = 4$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AD = 2$

Из этих двух уравнений можно выразить $BD \cdot AD = 8$ и $CD \cdot AD = 4$. Разделив первое выражение на второе, получим соотношение между отрезками $BD$ и $CD$:

$\frac{BD \cdot AD}{CD \cdot AD} = \frac{8}{4}$

$\frac{BD}{CD} = 2$, откуда $BD = 2CD$.

Поскольку в равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$), а угол при вершине $B$ должен быть меньше $180^\circ$, то углы при основании всегда острые. Если угол $C$ острый, то основание высоты $D$, проведенной из вершины $A$, лежит на отрезке $BC$. Следовательно, длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $CD$.

$BC = BD + CD = 2CD + CD = 3CD$.

Так как $AB = BC$, то и $AB = 3CD$.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $AB$ и $BD$ через $CD$: $(3CD)^2 = AD^2 + (2CD)^2$

$9CD^2 = AD^2 + 4CD^2$

$AD^2 = 9CD^2 - 4CD^2 = 5CD^2$, откуда $AD = CD\sqrt{5}$.

Теперь вернемся к формуле площади для треугольника $ACD$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AD = 2$.

Подставим в нее найденное выражение для $AD$: $\frac{1}{2} \cdot CD \cdot (CD\sqrt{5}) = 2$

$\frac{\sqrt{5}}{2} CD^2 = 2$

$CD^2 = \frac{4}{\sqrt{5}}$.

Отсюда $CD = \sqrt{\frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sqrt[4]{5}}$ см.

Зная $CD$, мы можем найти длины всех сторон треугольника.

Длины боковых сторон $AB$ и $BC$: $AB = BC = 3CD = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt[4]{5}} = \frac{6}{\sqrt[4]{5}}$ см.

Для нахождения длины основания $AC$ применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ADC$: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Мы уже знаем, что $AD^2 = 5CD^2$ и $CD^2 = \frac{4}{\sqrt{5}}$. $AD^2 = 5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$.

$AC^2 = 4\sqrt{5} + \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 4}{\sqrt{5}} = \frac{4 \cdot 5 + 4}{\sqrt{5}} = \frac{24}{\sqrt{5}}$.

$AC = \sqrt{\frac{24}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt[4]{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{5}}$ см.

Ответ: $AB = BC = \frac{6}{\sqrt[4]{5}}$ см, $AC = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{5}}$ см.

5.25. Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник, и что его диагональ равна разности сторон параллелограмма.

Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим его внутренние углы $\angle A = \angle C = \alpha$ и $\angle B = \angle D = \beta$. Из свойств параллелограмма известно, что сумма его соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы всех четырех внутренних углов. Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $K$, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ — в точке $L$, биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ — в точке $M$, а биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ — в точке $N$. В результате пересечения биссектрис образовался четырехугольник $KLMN$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании $AB$ равны половинам углов параллелограмма: $\angle KAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle KBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$. Тогда третий угол треугольника $ABK$ равен: $\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Подставив значение $\alpha + \beta = 180^\circ$, получаем: $\angle AKB = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle NKL$ четырехугольника $KLMN$ является вертикальным к углу $\angle AKB$, следовательно, $\angle NKL = \angle AKB = 90^\circ$.

Аналогично, рассматривая треугольники $\triangle BCL$, $\triangle CDM$ и $\triangle DAN$, можно доказать, что $\angle BLC = 90^\circ$, $\angle CMD = 90^\circ$ и $\angle DNA = 90^\circ$. Углы четырехугольника $KLMN$ соответственно равны этим углам как вертикальные: $\angle KLM = \angle BLC = 90^\circ$, $\angle LMN = \angle CMD = 90^\circ$, $\angle MNK = \angle DNA = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла четырехугольника $KLMN$ прямые, он является прямоугольником.

Ответ: Фигура, образованная пересечением биссектрис, является прямоугольником, что и требовалось доказать.

...и что его диагональ равна разности сторон параллелограмма

Пусть длины смежных сторон параллелограмма равны $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Для определенности предположим, что $b \ge a$. Нам нужно доказать, что диагональ прямоугольника $KLMN$, например $LN$, равна $b - a$.

Мы уже установили, что $\triangle ADN$ является прямоугольным ($\angle AND = 90^\circ$) с гипотенузой $AD=b$. Углы при гипотенузе равны $\angle NAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle NDA = \frac{\beta}{2}$. По теореме синусов для $\triangle ADN$: $\frac{AN}{\sin(\angle NDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle AND)} \Rightarrow AN = \frac{b \cdot \sin(\beta/2)}{\sin(90^\circ)} = b \sin(\beta/2)$.

Аналогично, $\triangle ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB = 90^\circ$) с гипотенузой $AB=a$. Углы при гипотенузе $\angle KAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle KBA = \frac{\beta}{2}$. По теореме синусов для $\triangle ABK$: $\frac{AK}{\sin(\angle KBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle AKB)} \Rightarrow AK = \frac{a \cdot \sin(\beta/2)}{\sin(90^\circ)} = a \sin(\beta/2)$.

Точки $A$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла $\angle A$. Следовательно, длина стороны $NK$ прямоугольника $KLMN$ равна: $NK = |AN - AK| = |b \sin(\beta/2) - a \sin(\beta/2)| = |b-a|\sin(\beta/2)$.

Теперь найдем длину смежной стороны $NM$. Точки $D$, $M$, $N$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла $\angle D$. Из прямоугольного $\triangle ADN$ по теореме синусов: $\frac{DN}{\sin(\angle NAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle AND)} \Rightarrow DN = \frac{b \cdot \sin(\alpha/2)}{\sin(90^\circ)} = b \sin(\alpha/2)$.

Из прямоугольного $\triangle CDM$ ($\angle CMD = 90^\circ$) с гипотенузой $CD=a$ по теореме синусов: $\frac{DM}{\sin(\angle MCD)} = \frac{CD}{\sin(\angle CMD)} \Rightarrow DM = \frac{a \cdot \sin(\alpha/2)}{\sin(90^\circ)} = a \sin(\alpha/2)$.

Длина стороны $NM$ прямоугольника $KLMN$ равна: $NM = |DN - DM| = |b \sin(\alpha/2) - a \sin(\alpha/2)| = |b-a|\sin(\alpha/2)$.

Теперь мы можем найти длину диагонали $LN$ прямоугольника $KLMN$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle LMN$ (угол $\angle LMN=90^\circ$). Заметим, что противолежащие стороны прямоугольника равны, т.е. $LM = NK$. $LN^2 = LM^2 + NM^2 = NK^2 + NM^2$. $LN^2 = (|b-a|\sin(\beta/2))^2 + (|b-a|\sin(\alpha/2))^2$. $LN^2 = (b-a)^2 (\sin^2(\beta/2) + \sin^2(\alpha/2))$.

Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ$, откуда $\frac{\beta}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\sin(\beta/2) = \sin(90^\circ - \alpha/2) = \cos(\alpha/2)$. Подставим это в выражение для $LN^2$: $LN^2 = (b-a)^2 (\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2))$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, получаем: $LN^2 = (b-a)^2 \cdot 1 = (b-a)^2$. $LN = \sqrt{(b-a)^2} = |b-a|$.

Ответ: Диагональ прямоугольника, образованного биссектрисами, равна разности длин смежных сторон параллелограмма, что и требовалось доказать.

5.26. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle BAC=20^{\circ}$, $\angle BCA=35^{\circ}$, $\angle BDC=40^{\circ}$, $\angle BDA=70^{\circ}$. Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Пусть диагонали четырехугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Мы ищем один из углов при их пересечении, например, $\angle AOD$.

Для решения задачи воспользуемся методом, который заключается в выдвижении гипотезы о свойстве фигуры, проверке ее состоятельности и, в случае успеха, использовании этого свойства для нахождения ответа. Зачастую в задачах с "хорошими" числами углов скрыта простая геометрическая конфигурация.

Решение:

Дано: $\angle BAC = 20^\circ$, $\angle BCA = 35^\circ$, $\angle BDC = 40^\circ$, $\angle BDA = 70^\circ$.

1. Выдвинем гипотезу.

Предположим, что треугольник $ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$, то есть $AD = CD$.

2. Проверим следствия из гипотезы.

Если $AD = CD$, то углы при основании $AC$ в треугольнике $ADC$ должны быть равны: $\angle CAD = \angle ACD$.

Найдем угол $\angle ADC$ как сумму двух данных углов:

$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$. Тогда:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAD + 110^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAD = 70^\circ$

$\angle CAD = 35^\circ$.

Итак, из нашей гипотезы следует, что $\angle CAD = \angle ACD = 35^\circ$.

3. Проверим состоятельность гипотезы (согласуется ли она с остальными данными).

Теперь, используя найденные углы, мы можем определить все углы в четырехугольнике.

Найдем углы в треугольнике $ABD$:

• $\angle BDA = 70^\circ$ (дано).
• $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 20^\circ + 35^\circ = 55^\circ$.
• $\angle ABD = 180^\circ - (\angle BDA + \angle BAD) = 180^\circ - (70^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

Найдем углы в треугольнике $BCD$:

• $\angle BDC = 40^\circ$ (дано).
• $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.
• $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BDC + \angle BCD) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь проверим, согласуются ли эти выводы с данными для треугольника $ABC$.

Найдем угол $\angle ABC$ как сумму найденных углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.

А теперь найдем $\angle ABC$ из данных для треугольника $ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (20^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Результаты совпали. Это означает, что наша гипотеза $AD=CD$ верна и не противоречит ни одному из условий задачи.

(Для полной строгости можно проверить выполнение синусовой теоремы Чевы для точки O, что также подтвердит верность найденных углов: $\frac{\sin(\angle OAB)}{\sin(\angle OAD)} \cdot \frac{\sin(\angle ODA)}{\sin(\angle ODC)} \cdot \frac{\sin(\angle OCD)}{\sin(\angle OCB)} \cdot \frac{\sin(\angle OBC)}{\sin(\angle OBA)} = \frac{\sin(20^\circ)}{\sin(35^\circ)} \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(40^\circ)} \cdot \frac{\sin(35^\circ)}{\sin(35^\circ)} \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(55^\circ)} = 1$. Это выражение действительно равно 1, что доказывает правильность конфигурации).

4. Найдем искомый угол.

Нам нужно найти угол между диагоналями $AC$ и $BD$. Найдем, например, угол $\angle AOD$ из треугольника $AOD$.

В треугольнике $AOD$ нам известны два угла:

• $\angle OAD = \angle CAD = 35^\circ$.
• $\angle ODA = \angle BDA = 70^\circ$.

Тогда третий угол в этом треугольнике равен:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Смежный с ним угол $\angle COD$ будет равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Угол между прямыми принято считать острый угол, если не оговорено иное.

Ответ: Угол между диагоналями четырехугольника равен $75^\circ$.