Номер 5.21, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Внутри треугольника ABC взята точка P так, чтобы выполнялось равенство $S_{ABP} = S_{ACP} = S_{BCP}$. Докажите, что точка P является точкой пересечения медиан треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ существует точка $P$, такая что площади треугольников $\triangle ABP$, $\triangle ACP$ и $\triangle BCP$ равны. Обозначим эту площадь как $S$. Таким образом, $S_{ABP} = S_{ACP} = S_{BCP} = S$.Общая площадь треугольника $ABC$ равна сумме этих трех площадей: $S_{ABC} = S_{ABP} + S_{ACP} + S_{BCP} = 3S$.

Проведем луч $AP$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $M$. Нам нужно доказать, что $AM$ является медианой, то есть что точка $M$ — середина отрезка $BC$.Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим ее $h_A$. Площади этих треугольников относятся как их основания:$$ \frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_A} = \frac{BM}{CM} $$Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle PBM$ и $\triangle PCM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $P$ к стороне $BC$. Обозначим ее $h_P$. Площади этих треугольников также относятся как их основания:$$ \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_P}{\frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_P} = \frac{BM}{CM} $$Из этих двух равенств следует, что $\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}}$.

Площадь $\triangle ABM$ можно представить как сумму площадей $S_{ABM} = S_{ABP} + S_{PBM}$.Площадь $\triangle ACM$ можно представить как сумму площадей $S_{ACM} = S_{ACP} + S_{PCM}$.Подставим это в полученное соотношение:$$ \frac{S_{ABP} + S_{PBM}}{S_{ACP} + S_{PCM}} = \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}} $$По условию задачи $S_{ABP} = S_{ACP} = S$. Подставим это значение:$$ \frac{S + S_{PBM}}{S + S_{PCM}} = \frac{S_{PBM}}{S_{PCM}} $$Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:$$ S_{PCM} \cdot (S + S_{PBM}) = S_{PBM} \cdot (S + S_{PCM}) $$$$ S \cdot S_{PCM} + S_{PCM} \cdot S_{PBM} = S \cdot S_{PBM} + S_{PBM} \cdot S_{PCM} $$$$ S \cdot S_{PCM} = S \cdot S_{PBM} $$Поскольку $S \neq 0$, мы можем сократить на $S$, получая $S_{PBM} = S_{PCM}$.

Так как $S_{PBM} = S_{PCM}$ и у этих треугольников общая высота $h_P$ из вершины $P$, их основания должны быть равны: $BM = CM$.Это доказывает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$, а следовательно, отрезок $AM$ — медиана треугольника $ABC$.

Теперь докажем, что точка $P$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle PBM$. У них общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AM$. Следовательно, их площади относятся как длины оснований $AP$ и $PM$:$$ \frac{S_{ABP}}{S_{PBM}} = \frac{AP}{PM} $$Мы знаем, что $S_{BCP} = S_{PBM} + S_{PCM}$. Поскольку мы доказали, что $S_{PBM} = S_{PCM}$, то $S_{BCP} = 2 \cdot S_{PBM}$.По условию $S_{ABP} = S_{BCP}$, значит $S_{ABP} = 2 \cdot S_{PBM}$.Подставим это в соотношение площадей:$$ \frac{2 \cdot S_{PBM}}{S_{PBM}} = \frac{AP}{PM} $$$$ \frac{AP}{PM} = 2 $$Это означает, что точка $P$ делит медиану $AM$ в отношении $2:1$.

Аналогичные рассуждения можно провести для лучей $BP$ и $CP$. Мы получим, что точка $P$ лежит на медианах, проведенных из вершин $B$ и $C$, и делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины.Точка пересечения медиан треугольника (центроид) является единственной точкой, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$. Следовательно, точка $P$ и есть точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $P$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$.