Номер 5.19, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Найдите множество всех точек, расстояния которых от двух данных точек на плоскости находятся в отношении $m : n$.

Пусть на плоскости даны две различные точки A и B. Мы ищем геометрическое место точек M, для которых отношение расстояний MA к MB постоянно и равно $m:n$. Обозначим это отношение как $k = \frac{m}{n}$, где $m > 0$ и $n > 0$, следовательно, $k > 0$. Условие задачи можно записать в виде $\frac{MA}{MB} = k$. Рассмотрим два возможных случая в зависимости от значения $k$.

Если $m = n$, то отношение $k = m/n = 1$. Условие принимает вид $\frac{MA}{MB} = 1$, или $MA = MB$. Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, по определению является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Это прямая, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.

Ответ: Если $m = n$, искомое множество точек — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Если $m \neq n$, то $k = m/n \neq 1$. Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Введем на плоскости декартову систему координат. Для удобства разместим точки A и B на оси Ox симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между A и B равно $2a$. Тогда точки будут иметь координаты $A(-a, 0)$ и $B(a, 0)$. Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x, y)$.

Расстояние от точки M до точки A вычисляется по формуле: $MA = \sqrt{(x - (-a))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+a)^2 + y^2}$.

Расстояние от точки M до точки B: $MB = \sqrt{(x - a)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x-a)^2 + y^2}$.

Согласно условию задачи, $\frac{MA}{MB} = k$, или $MA = k \cdot MB$. Так как расстояния являются неотрицательными величинами, мы можем возвести обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней: $MA^2 = k^2 \cdot MB^2$.

Подставим выражения для квадратов расстояний в это уравнение:

$(x+a)^2 + y^2 = k^2 \left[ (x-a)^2 + y^2 \right]$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = k^2(x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$

$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = k^2x^2 - 2k^2ax + k^2a^2 + k^2y^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их по переменным $x$ и $y$:

$(1 - k^2)x^2 + 2ax(1 + k^2) + (1 - k^2)y^2 + a^2(1 - k^2) = 0$

Поскольку мы рассматриваем случай $k \neq 1$, то $1 - k^2 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить все уравнение на $(1 - k^2)$:

$x^2 + 2a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}x + y^2 + a^2 = 0$

Полученное уравнение является уравнением окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$\left(x^2 + 2a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}x + \left(a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2\right) - \left(a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2 + y^2 + a^2 = 0$

$\left(x + a\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2 + y^2 = a^2\left(\frac{1 + k^2}{1 - k^2}\right)^2 - a^2$

Преобразуем правую часть, чтобы найти квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = a^2 \left[ \frac{(1 + k^2)^2}{(1 - k^2)^2} - 1 \right] = a^2 \frac{(1 + k^2)^2 - (1 - k^2)^2}{(1 - k^2)^2} = a^2 \frac{(1 + 2k^2 + k^4) - (1 - 2k^2 + k^4)}{(1 - k^2)^2} = a^2 \frac{4k^2}{(1 - k^2)^2}$

Таким образом, мы получили каноническое уравнение окружности:

$\left(x - a\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{2ak}{|k^2 - 1|}\right)^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $C\left(a\frac{k^2 + 1}{k^2 - 1}, 0\right)$ и радиусом $R = \frac{2ak}{|k^2 - 1|}$.

Эта окружность известна как окружность Аполлония. Её центр лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Диаметром этой окружности является отрезок PQ, где P и Q — это точки, делящие отрезок AB внутренним и внешним образом в отношении $m:n$.

Ответ: Если $m \neq n$, искомое множество точек — это окружность (окружность Аполлония).