Номер 5.18, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Раздел 5*. Дополнительные задачи повышенной трудности - номер 5.18, страница 102.

Учебник rus.

5.18. Две стороны треугольника равны 14 см и 35 см, а биссектриса между ними – 12 см. Найдите площадь треугольника.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 14$ см и $b = 35$ см, а также длина биссектрисы $l = 12$ см угла $\gamma$ между этими сторонами. Требуется найти площадь треугольника $S$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

Для нахождения площади нам нужно определить значение $\sin\gamma$.

Биссектриса $l$ делит угол $\gamma$ на два равных угла $\alpha = \frac{\gamma}{2}$. Таким образом, $\gamma = 2\alpha$.

Площадь исходного треугольника можно также представить как сумму площадей двух меньших треугольников, на которые его делит биссектриса. Первый треугольник образован сторонами $a$ и $l$ с углом $\alpha$ между ними, а второй — сторонами $b$ и $l$ также с углом $\alpha$ между ними.

Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2}al \sin\alpha$.

Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2}bl \sin\alpha$.

Площадь всего треугольника равна сумме этих площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}al \sin\alpha + \frac{1}{2}bl \sin\alpha = \frac{1}{2}(a+b)l \sin\alpha$

Теперь у нас есть два выражения для площади $S$. Приравняем их:

$\frac{1}{2}ab \sin\gamma = \frac{1}{2}(a+b)l \sin\alpha$

Заменим $\gamma$ на $2\alpha$ и воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$:

$\frac{1}{2}ab (2\sin\alpha \cos\alpha) = \frac{1}{2}(a+b)l \sin\alpha$

Поскольку $\alpha$ — это половина угла треугольника, $\alpha$ находится в интервале $(0, 90^\circ)$, и, следовательно, $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}\sin\alpha$:

$2ab \cos\alpha = (a+b)l$

Из этого уравнения выразим $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{(a+b)l}{2ab}$

Подставим известные значения $a=14$, $b=35$ и $l=12$:

$\cos\alpha = \frac{(14+35) \cdot 12}{2 \cdot 14 \cdot 35} = \frac{49 \cdot 12}{980} = \frac{588}{980}$

Упростим полученную дробь:

$\cos\alpha = \frac{588 \div 196}{980 \div 196} = \frac{3}{5}$

Теперь, зная косинус угла $\alpha$, найдем его синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Так как угол $\alpha$ острый, его синус положителен:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника. Найдем $\sin\gamma$:

$\sin\gamma = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

Подставим найденное значение в формулу площади:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 35 \cdot \frac{24}{25} = 7 \cdot 35 \cdot \frac{24}{25} = 7 \cdot \frac{7 \cdot 5}{1} \cdot \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 24}{5} = \frac{49 \cdot 24}{5} = \frac{1176}{5} = 235.2$ см².

Ответ: 235,2 см².