Номер 5.22, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. Две прямые, проведенные параллельно сторонам параллелограмма, пересекаясь на его диагонали, делят параллелограмм на 4 части. Докажите, что части, расположенные по обе стороны от диагонали, равновелики.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$. На этой диагонали выберем произвольную точку $K$.

Через точку $K$ проведем две прямые, параллельные сторонам параллелограмма:

• Прямую, параллельную стороне $AD$. Пусть она пересекает сторону $AB$ в точке $G$ и сторону $DC$ в точке $H$.
• Прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть она пересекает сторону $AD$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$.

Эти две прямые, пересекаясь в точке $K$, делят исходный параллелограмм $ABCD$ на четыре меньших параллелограмма: $AGKE$, $GBFK$, $FCHK$ и $EKHD$.

Диагональ $AC$ проходит через общие вершины малых параллелограммов $A$, $K$ и $C$. Таким образом, она является составной диагональю для параллелограммов $AGKE$ и $FCHK$. Части, расположенные по обе стороны от диагонали $AC$ (то есть те, которые она не пересекает), — это параллелограммы $GBFK$ и $EKHD$. Требуется доказать, что они равновелики, то есть их площади равны: $S_{GBFK} = S_{EKHD}$.

Доказательство строится на свойстве диагонали параллелограмма, которая делит его на два треугольника равной площади.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника: $ΔABC$ и $ΔADC$.
Следовательно, $S_{ΔABC} = S_{ΔADC}$.

2. Рассмотрим параллелограмм $AGKE$. Отрезок $AK$ является его диагональю. Значит, он делит его на два равновеликих треугольника: $ΔAGK$ и $ΔAEK$.
Следовательно, $S_{ΔAGK} = S_{ΔAEK}$.

3. Рассмотрим параллелограмм $FCHK$. Отрезок $KC$ является его диагональю. Аналогично, он делит его на два равновеликих треугольника: $ΔKFC$ и $ΔKHC$.
Следовательно, $S_{ΔKFC} = S_{ΔKHC}$.

4. Площадь треугольника $ΔABC$ складывается из площадей трех фигур, на которые он разделен: треугольника $ΔAGK$, параллелограмма $GBFK$ и треугольника $ΔKFC$.
$S_{ΔABC} = S_{ΔAGK} + S_{GBFK} + S_{ΔKFC}$.

5. Аналогично, площадь треугольника $ΔADC$ складывается из площадей треугольника $ΔAEK$, параллелограмма $EKHD$ и треугольника $ΔKHC$.
$S_{ΔADC} = S_{ΔAEK} + S_{EKHD} + S_{ΔKHC}$.

6. Так как $S_{ΔABC} = S_{ΔADC}$, мы можем приравнять правые части выражений из пунктов 4 и 5:
$S_{ΔAGK} + S_{GBFK} + S_{ΔKFC} = S_{ΔAEK} + S_{EKHD} + S_{ΔKHC}$.

7. Используя равенства из пунктов 2 и 3 ($S_{ΔAGK} = S_{ΔAEK}$ и $S_{ΔKFC} = S_{ΔKHC}$), мы можем вычесть равные слагаемые из обеих частей уравнения:
$\cancel{S_{ΔAGK}} + S_{GBFK} + \cancel{S_{ΔKFC}} = \cancel{S_{ΔAEK}} + S_{EKHD} + \cancel{S_{ΔKHC}}$.

В результате получаем искомое равенство:
$S_{GBFK} = S_{EKHD}$.

Таким образом, доказано, что части параллелограмма, расположенные по обе стороны от диагонали, равновелики.

Ответ: Утверждение доказано. Площади частей, расположенных по обе стороны от диагонали, равны.