Номер 5.25, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25. Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник, и что его диагональ равна разности сторон параллелограмма.

Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим его внутренние углы $\angle A = \angle C = \alpha$ и $\angle B = \angle D = \beta$. Из свойств параллелограмма известно, что сумма его соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы всех четырех внутренних углов. Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $K$, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ — в точке $L$, биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ — в точке $M$, а биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ — в точке $N$. В результате пересечения биссектрис образовался четырехугольник $KLMN$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании $AB$ равны половинам углов параллелограмма: $\angle KAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle KBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$. Тогда третий угол треугольника $ABK$ равен: $\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Подставив значение $\alpha + \beta = 180^\circ$, получаем: $\angle AKB = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle NKL$ четырехугольника $KLMN$ является вертикальным к углу $\angle AKB$, следовательно, $\angle NKL = \angle AKB = 90^\circ$.

Аналогично, рассматривая треугольники $\triangle BCL$, $\triangle CDM$ и $\triangle DAN$, можно доказать, что $\angle BLC = 90^\circ$, $\angle CMD = 90^\circ$ и $\angle DNA = 90^\circ$. Углы четырехугольника $KLMN$ соответственно равны этим углам как вертикальные: $\angle KLM = \angle BLC = 90^\circ$, $\angle LMN = \angle CMD = 90^\circ$, $\angle MNK = \angle DNA = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла четырехугольника $KLMN$ прямые, он является прямоугольником.

Ответ: Фигура, образованная пересечением биссектрис, является прямоугольником, что и требовалось доказать.

...и что его диагональ равна разности сторон параллелограмма

Пусть длины смежных сторон параллелограмма равны $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Для определенности предположим, что $b \ge a$. Нам нужно доказать, что диагональ прямоугольника $KLMN$, например $LN$, равна $b - a$.

Мы уже установили, что $\triangle ADN$ является прямоугольным ($\angle AND = 90^\circ$) с гипотенузой $AD=b$. Углы при гипотенузе равны $\angle NAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle NDA = \frac{\beta}{2}$. По теореме синусов для $\triangle ADN$: $\frac{AN}{\sin(\angle NDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle AND)} \Rightarrow AN = \frac{b \cdot \sin(\beta/2)}{\sin(90^\circ)} = b \sin(\beta/2)$.

Аналогично, $\triangle ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB = 90^\circ$) с гипотенузой $AB=a$. Углы при гипотенузе $\angle KAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle KBA = \frac{\beta}{2}$. По теореме синусов для $\triangle ABK$: $\frac{AK}{\sin(\angle KBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle AKB)} \Rightarrow AK = \frac{a \cdot \sin(\beta/2)}{\sin(90^\circ)} = a \sin(\beta/2)$.

Точки $A$, $K$ и $N$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла $\angle A$. Следовательно, длина стороны $NK$ прямоугольника $KLMN$ равна: $NK = |AN - AK| = |b \sin(\beta/2) - a \sin(\beta/2)| = |b-a|\sin(\beta/2)$.

Теперь найдем длину смежной стороны $NM$. Точки $D$, $M$, $N$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла $\angle D$. Из прямоугольного $\triangle ADN$ по теореме синусов: $\frac{DN}{\sin(\angle NAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle AND)} \Rightarrow DN = \frac{b \cdot \sin(\alpha/2)}{\sin(90^\circ)} = b \sin(\alpha/2)$.

Из прямоугольного $\triangle CDM$ ($\angle CMD = 90^\circ$) с гипотенузой $CD=a$ по теореме синусов: $\frac{DM}{\sin(\angle MCD)} = \frac{CD}{\sin(\angle CMD)} \Rightarrow DM = \frac{a \cdot \sin(\alpha/2)}{\sin(90^\circ)} = a \sin(\alpha/2)$.

Длина стороны $NM$ прямоугольника $KLMN$ равна: $NM = |DN - DM| = |b \sin(\alpha/2) - a \sin(\alpha/2)| = |b-a|\sin(\alpha/2)$.

Теперь мы можем найти длину диагонали $LN$ прямоугольника $KLMN$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle LMN$ (угол $\angle LMN=90^\circ$). Заметим, что противолежащие стороны прямоугольника равны, т.е. $LM = NK$. $LN^2 = LM^2 + NM^2 = NK^2 + NM^2$. $LN^2 = (|b-a|\sin(\beta/2))^2 + (|b-a|\sin(\alpha/2))^2$. $LN^2 = (b-a)^2 (\sin^2(\beta/2) + \sin^2(\alpha/2))$.

Так как $\alpha + \beta = 180^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ$, откуда $\frac{\beta}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\sin(\beta/2) = \sin(90^\circ - \alpha/2) = \cos(\alpha/2)$. Подставим это в выражение для $LN^2$: $LN^2 = (b-a)^2 (\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2))$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, получаем: $LN^2 = (b-a)^2 \cdot 1 = (b-a)^2$. $LN = \sqrt{(b-a)^2} = |b-a|$.

Ответ: Диагональ прямоугольника, образованного биссектрисами, равна разности длин смежных сторон параллелограмма, что и требовалось доказать.