Номер 5.31, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Параллелограмм разделен на четыре треугольника отрезками, соединяющими точку внутри параллелограмма с его вершинами. Докажите, что суммы площадей противоположно расположенных треугольников равны.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ и произвольная точка $P$ внутри него. Отрезки, соединяющие точку $P$ с вершинами, делят параллелограмм на четыре треугольника: $APB$, $BPC$, $CPD$ и $DPA$. Нам нужно доказать, что $S_{APB} + S_{CPD} = S_{BPC} + S_{DPA}$.

Доказательство:

1. Рассмотрим пару противоположных треугольников $APB$ и $CPD$. Основания этих треугольников $AB$ и $CD$ являются противоположными сторонами параллелограмма, следовательно, они параллельны и равны. Обозначим их длину как $a$, то есть $AB = CD = a$.

Проведем через точку $P$ прямую, перпендикулярную сторонам $AB$ и $CD$. Пусть $h_1$ — это высота треугольника $APB$, опущенная из вершины $P$ на основание $AB$, а $h_2$ — высота треугольника $CPD$, опущенная из вершины $P$ на основание $CD$.

Сумма этих высот $h_1 + h_2$ равна высоте параллелограмма $H$, проведенной между сторонами $AB$ и $CD$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Найдем сумму площадей этих двух треугольников:

$S_{APB} + S_{CPD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2$

Поскольку $AB = CD = a$, можно вынести общий множитель:

$S_{APB} + S_{CPD} = \frac{1}{2} a \cdot h_1 + \frac{1}{2} a \cdot h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2)$

Так как $h_1 + h_2 = H$ (высота параллелограмма), получаем:

$S_{APB} + S_{CPD} = \frac{1}{2} a H$

Площадь всего параллелограмма $S_{ABCD}$ равна произведению его основания на высоту, то есть $S_{ABCD} = a H$. Таким образом, сумма площадей треугольников $APB$ и $CPD$ равна половине площади параллелограмма: $S_{APB} + S_{CPD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

2. Теперь рассмотрим другую пару противоположных треугольников: $BPC$ и $DPA$. Их основания $BC$ и $DA$ также параллельны и равны. Обозначим их длину как $b$, то есть $BC = DA = b$.

Проведем через точку $P$ высоту, перпендикулярную сторонам $BC$ и $DA$. Пусть $h_3$ — высота треугольника $BPC$ на основание $BC$, а $h_4$ — высота треугольника $DPA$ на основание $DA$. Сумма этих высот $h_3 + h_4$ равна высоте параллелограмма $H'$, проведенной между сторонами $BC$ и $DA$.

Аналогично найдем сумму их площадей:

$S_{BPC} + S_{DPA} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_3 + \frac{1}{2} \cdot DA \cdot h_4 = \frac{1}{2} b (h_3 + h_4)$

Так как $h_3 + h_4 = H'$, то:

$S_{BPC} + S_{DPA} = \frac{1}{2} b H'$

Площадь параллелограмма также можно вычислить как $S_{ABCD} = b H'$. Следовательно, $S_{BPC} + S_{DPA} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

3. Мы получили, что:

• $S_{APB} + S_{CPD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$
• $S_{BPC} + S_{DPA} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Из этого следует, что суммы площадей противоположных треугольников равны между собой:

$S_{APB} + S_{CPD} = S_{BPC} + S_{DPA}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Суммы площадей противоположно расположенных треугольников равны, так как каждая из этих сумм равна ровно половине площади всего параллелограмма.