Номер 5.30, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Основание равнобедренного треугольника 12 см, а радиус вписанной окружности 3 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 12$ см и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. В нашем случае $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot BH = 6 \cdot BH$. Таким образом, для нахождения площади нам нужно найти высоту $BH$.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $BH$, так как $BH$ является биссектрисой угла $B$. Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника. Расстояние от $O$ до основания $AC$ равно $OH$, следовательно, $OH = r = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Нам нужно найти катет $BH$. Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, отрезок $CO$ является биссектрисой угла $C$ (угла $BCA$).

Пусть $\angle BCA = \gamma$. Тогда $\angle OCH = \frac{\gamma}{2}$. В прямоугольном треугольнике $OHC$ мы можем найти тангенс угла $\angle OCH$:

$\tan(\angle OCH) = \tan(\frac{\gamma}{2}) = \frac{OH}{HC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная $\tan(\frac{\gamma}{2})$, мы можем найти $\tan(\gamma)$ по формуле тангенса двойного угла:

$\tan(\gamma) = \frac{2\tan(\frac{\gamma}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\gamma}{2})} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $BHC$. В этом треугольнике тангенс угла $C$ (угла $BCH$) равен отношению противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $HC$:

$\tan(\angle BCH) = \tan(\gamma) = \frac{BH}{HC}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{3} = \frac{BH}{6}$

Отсюда находим высоту $BH$:

$BH = 6 \cdot \frac{4}{3} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$:

$S = 6 \cdot BH = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.