Номер 5.29, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы углов при вершине и при основании. Найдите косинус угла между биссектрисами, если синус угла при основании треугольника равен $\frac{\sqrt{975}}{32}$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Углы при основании равны, обозначим их за $\alpha$, то есть $\angle A = \angle C = \alpha$. Угол при вершине обозначим за $\beta$, то есть $\angle B = \beta$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

В треугольнике проведены биссектриса угла при основании, например, из вершины $A$, и биссектриса угла при вершине $B$. Обозначим их как $AD$ и $BE$ соответственно, где $D$ лежит на стороне $BC$, а $E$ — на основании $AC$. Пусть $O$ — точка пересечения этих биссектрис.

Мы ищем косинус угла между биссектрисами $AD$ и $BE$. Угол между пересекающимися прямыми — это острый угол между ними. Найдем один из углов, образованных при пересечении, например, $\angle AOE$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Следовательно, $BE \perp AC$, и угол $\angle AEO = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOE$. Его углы:

• $\angle OAE$ является половиной угла при основании, так как $AD$ — биссектриса угла $A$. Таким образом, $\angle OAE = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$.
• $\angle AEO = 90^\circ$, как было показано ранее.

Сумма углов в треугольнике $AOE$ равна $180^\circ$:$\angle AOE + \angle OAE + \angle AEO = 180^\circ$$\angle AOE + \frac{\alpha}{2} + 90^\circ = 180^\circ$Отсюда находим угол $\angle AOE$:$\angle AOE = 180^\circ - 90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Косинус угла между биссектрисами равен $\cos(\angle AOE)$.$\cos(\angle AOE) = \cos(90^\circ - \frac{\alpha}{2})$.По формулам приведения, $\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$. Следовательно,$\cos(\angle AOE) = \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь нам нужно найти значение $\sin(\frac{\alpha}{2})$, зная, что синус угла при основании $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{975}}{32}$.

Сначала найдем $\cos(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.$\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{\sqrt{975}}{32}\right)^2 = 1 - \frac{975}{1024} = \frac{1024 - 975}{1024} = \frac{49}{1024}$.

Так как $\alpha$ — угол при основании равнобедренного треугольника, он должен быть острым (поскольку $2\alpha < 180^\circ$, то $\alpha < 90^\circ$). Для острого угла косинус положителен.$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{49}{1024}} = \frac{7}{32}$.

Теперь используем формулу половинного угла для синуса:$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$.$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \frac{7}{32}}{2} = \frac{\frac{32-7}{32}}{2} = \frac{\frac{25}{32}}{2} = \frac{25}{64}$.

Поскольку $0 < \alpha < 90^\circ$, то $0 < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$, и в этом диапазоне $\sin(\frac{\alpha}{2})$ положителен.$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}$.

Таким образом, косинус угла между биссектрисами равен $\frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$