Номер 5.24, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24. Отрезок $AD$ – высота равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Найдите стороны треугольника, если $S_{ABD} = 4 \text{ см}^2$, $S_{ACD} = 2 \text{ см}^2$.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Отрезок $AD$ — высота треугольника. Так как она проведена из вершины $A$, то она перпендикулярна противолежащей стороне $BC$. Таким образом, $AD \perp BC$, и угол $\angle ADB = 90^\circ$. Поскольку точка $D$ лежит на прямой $BC$, то и смежный с ним угол $\angle ADC$ также равен $90^\circ$.

Высота $AD$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $ABD$ и $ACD$. Площади этих треугольников даны: $S_{ABD} = 4$ см$^2$ и $S_{ACD} = 2$ см$^2$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для треугольников $ABD$ и $ACD$ катет $AD$ является общей высотой, а катеты $BD$ и $CD$ — их основаниями.

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AD = 4$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AD = 2$

Из этих двух уравнений можно выразить $BD \cdot AD = 8$ и $CD \cdot AD = 4$. Разделив первое выражение на второе, получим соотношение между отрезками $BD$ и $CD$:

$\frac{BD \cdot AD}{CD \cdot AD} = \frac{8}{4}$

$\frac{BD}{CD} = 2$, откуда $BD = 2CD$.

Поскольку в равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$), а угол при вершине $B$ должен быть меньше $180^\circ$, то углы при основании всегда острые. Если угол $C$ острый, то основание высоты $D$, проведенной из вершины $A$, лежит на отрезке $BC$. Следовательно, длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $CD$.

$BC = BD + CD = 2CD + CD = 3CD$.

Так как $AB = BC$, то и $AB = 3CD$.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $AB$ и $BD$ через $CD$: $(3CD)^2 = AD^2 + (2CD)^2$

$9CD^2 = AD^2 + 4CD^2$

$AD^2 = 9CD^2 - 4CD^2 = 5CD^2$, откуда $AD = CD\sqrt{5}$.

Теперь вернемся к формуле площади для треугольника $ACD$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AD = 2$.

Подставим в нее найденное выражение для $AD$: $\frac{1}{2} \cdot CD \cdot (CD\sqrt{5}) = 2$

$\frac{\sqrt{5}}{2} CD^2 = 2$

$CD^2 = \frac{4}{\sqrt{5}}$.

Отсюда $CD = \sqrt{\frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sqrt[4]{5}}$ см.

Зная $CD$, мы можем найти длины всех сторон треугольника.

Длины боковых сторон $AB$ и $BC$: $AB = BC = 3CD = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt[4]{5}} = \frac{6}{\sqrt[4]{5}}$ см.

Для нахождения длины основания $AC$ применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ADC$: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Мы уже знаем, что $AD^2 = 5CD^2$ и $CD^2 = \frac{4}{\sqrt{5}}$. $AD^2 = 5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}$.

$AC^2 = 4\sqrt{5} + \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 4}{\sqrt{5}} = \frac{4 \cdot 5 + 4}{\sqrt{5}} = \frac{24}{\sqrt{5}}$.

$AC = \sqrt{\frac{24}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt[4]{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{5}}$ см.

Ответ: $AB = BC = \frac{6}{\sqrt[4]{5}}$ см, $AC = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{5}}$ см.