Номер 5.20, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. В треугольнике из одной вершины проведены высота и медиана, которые делят этот угол на три равные части. Найдите углы треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$ к стороне $BC$. По условию, они делят угол $\angle BAC$ на три равные части. Обозначим величину каждой из этих частей через $\alpha$. Таким образом, $\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = \alpha$. Весь угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 3\alpha$.

Поскольку высота $AH$ и медиана $AM$ не совпадают, треугольник не является равнобедренным относительно вершины $A$. Предположим, что точка $H$ лежит между точками $B$ и $M$. Это означает, что угол $\angle B$ должен быть больше угла $\angle C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, поэтому $\angle B = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. Угол $\angle CAH$ складывается из двух частей: $\angle CAH = \angle HAM + \angle MAC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Тогда угол $\angle C$ равен $\angle C = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - 2\alpha$.

Заметим, что сумма углов треугольника $ABC$ составляет $\angle A + \angle B + \angle C = 3\alpha + (90^\circ - \alpha) + (90^\circ - 2\alpha) = 180^\circ$. Это тождество подтверждает корректность наших выражений для углов, но не позволяет найти $\alpha$.

Для нахождения $\alpha$ воспользуемся свойством медианы и теоремой синусов. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. Поскольку $AM$ — медиана, то отрезки $BM$ и $MC$ равны: $BM = MC$.Применим теорему синусов к $\triangle ABM$:$\frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle B)}$Угол $\angle BAM = \angle BAH + \angle HAM = 2\alpha$.$\frac{BM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(B)}$

Применим теорему синусов к $\triangle ACM$:$\frac{MC}{\sin(\angle CAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle C)}$Угол $\angle CAM = \alpha$.$\frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{AM}{\sin(C)}$

Так как $BM = MC$, мы можем приравнять выражения, полученные для этих отрезков из двух пропорций:$\frac{AM \sin(2\alpha)}{\sin(B)} = \frac{AM \sin(\alpha)}{\sin(C)}$Сократив на $AM$ (длина медианы не равна нулю), получаем:$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(B)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(C)}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, перепишем соотношение:$\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(B)} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(C)}$Поскольку $\alpha$ — это часть угла треугольника, $\alpha \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$. Значит, можно сократить на $\sin(\alpha)$:$\frac{2\cos(\alpha)}{\sin(B)} = \frac{1}{\sin(C)}$, откуда следует, что $\sin(B) = 2\cos(\alpha)\sin(C)$.

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $B$ и $C$ через $\alpha$: $B = 90^\circ - \alpha$ и $C = 90^\circ - 2\alpha$.$\sin(90^\circ - \alpha) = 2\cos(\alpha)\sin(90^\circ - 2\alpha)$Используя формулы приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:$\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\cos(2\alpha)$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и решим его:$\cos(\alpha) - 2\cos(\alpha)\cos(2\alpha) = 0$$\cos(\alpha)(1 - 2\cos(2\alpha)) = 0$Это уравнение дает два возможных случая:

1. $\cos(\alpha) = 0$. Это означает, что $\alpha = 90^\circ$. В этом случае угол $\angle B = 90^\circ - 90^\circ = 0$, что невозможно для треугольника.
2. $1 - 2\cos(2\alpha) = 0$, что приводит к $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.

Поскольку все углы треугольника должны быть положительными, $\angle C = 90^\circ - 2\alpha > 0$, откуда $2\alpha < 90^\circ$, то есть $\alpha < 45^\circ$.Единственное решение уравнения $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$ в интервале $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$ — это $2\alpha = 60^\circ$.Отсюда находим $\alpha = 30^\circ$.

Зная $\alpha$, мы можем вычислить все углы треугольника:

• $\angle A = 3\alpha = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$
• $\angle B = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
• $\angle C = 90^\circ - 2\alpha = 90^\circ - 2 \times 30^\circ = 30^\circ$

Ответ: углы треугольника равны $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.