Номер 5.13, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $C$, если $OC = AB$.

Для решения задачи разместим треугольник $ABC$ в декартовой системе координат. Такой подход позволяет вывести общее соотношение, справедливое как для остроугольного, так и для тупоугольного треугольника.

Пусть вершина $C$ находится в начале координат $C(0,0)$, а сторона $AC$ лежит на оси абсцисс. Тогда координаты вершины $A$ будут $A(b, 0)$, где $b$ — это длина стороны $AC$. Координаты вершины $B$ можно выразить через длину стороны $BC=a$ и угол $C$: $B(a \cos C, a \sin C)$.

Орртоцентр $O$ является точкой пересечения высот треугольника. Найдем его координаты, определив уравнения двух высот.

Высота, проведенная из вершины $B$ на сторону $AC$ (которая лежит на оси $Ox$), является вертикальной линией. Ее уравнение: $x = a \cos C$.

Высота, проведенная из вершины $A$ на сторону $BC$, перпендикулярна прямой $BC$. Прямая $BC$ проходит через точки $C(0,0)$ и $B(a \cos C, a \sin C)$, ее угловой коэффициент равен $k_{BC} = \frac{a \sin C - 0}{a \cos C - 0} = \tan C$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей высоты будет $k_{h_A} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\cot C$. Уравнение высоты, проходящей через точку $A(b, 0)$: $y - 0 = -\cot C \cdot (x - b)$, или $y = -x \cot C + b \cot C$.

Координаты ортоцентра $O$ — это решение системы уравнений двух высот. Абсцисса $x_O$ уже известна: $x_O = a \cos C$. Подставим ее в уравнение второй высоты для нахождения ординаты $y_O$: $y_O = -(a \cos C) \cot C + b \cot C = (b - a \cos C) \frac{\cos C}{\sin C}$. Итак, $O$ имеет координаты $\left(a \cos C, (b - a \cos C)\frac{\cos C}{\sin C}\right)$.

Теперь найдем квадрат расстояния $OC$. Так как $C$ — начало координат, $OC^2 = x_O^2 + y_O^2$. $OC^2 = (a \cos C)^2 + \left((b - a \cos C)\frac{\cos C}{\sin C}\right)^2 = a^2 \cos^2 C + (b - a \cos C)^2 \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C}$. Вынесем общий множитель $\frac{\cos^2 C}{\sin^2 C}$: $OC^2 = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} [a^2 \sin^2 C + (b - a \cos C)^2] = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} [a^2 \sin^2 C + b^2 - 2ab \cos C + a^2 \cos^2 C]$. Сгруппировав слагаемые с $a^2$ и применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$, получим: $OC^2 = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} [a^2(\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2ab \cos C] = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} [a^2 + b^2 - 2ab \cos C]$.

Выражение в квадратных скобках, согласно теореме косинусов для треугольника $ABC$, равно квадрату стороны $AB$: $AB^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Таким образом, мы получили связь между $OC$ и $AB$: $OC^2 = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} \cdot AB^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $OC = \sqrt{\frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} \cdot AB^2} = \left|\frac{\cos C}{\sin C}\right| \cdot AB$.

По условию задачи $OC = AB$. Подставим это в выведенную формулу: $AB = \left|\frac{\cos C}{\sin C}\right| \cdot AB$. Так как $AB$ — длина стороны, $AB > 0$, можно сократить на $AB$: $1 = \left|\frac{\cos C}{\sin C}\right|$. Поскольку $C$ — угол треугольника ($0^\circ < C < 180^\circ$), $\sin C$ всегда положителен. Значит, $\sin C = |\cos C|$.

Это уравнение распадается на два случая. Первый случай: угол $C$ острый ($0^\circ < C < 90^\circ$). Тогда $\cos C > 0$, и уравнение принимает вид $\sin C = \cos C$. Разделив на $\cos C \neq 0$, получаем $\tan C = 1$, откуда $C = 45^\circ$.

Второй случай: угол $C$ тупой ($90^\circ < C < 180^\circ$). Тогда $\cos C < 0$, и $|\cos C| = -\cos C$. Уравнение принимает вид $\sin C = -\cos C$. Разделив на $\cos C \neq 0$, получаем $\tan C = -1$, откуда $C = 135^\circ$.

Случай $\angle C = 90^\circ$ невозможен, так как при этом $\cos C = 0$, а $\sin C = 1$, и равенство $\sin C = |\cos C|$ не выполняется.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.