Номер 5.12, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.12. Даны две стороны треугольника: 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC=b=6$ см и $BC=a=8$ см. Пусть $AA_1$ и $BB_1$ — медианы, проведенные к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Обозначим их длины как $m_a = AA_1$ и $m_b = BB_1$. По условию, медианы взаимно перпендикулярны, то есть $AA_1 \perp BB_1$.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$ и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения для отрезков медиан: $AO = \frac{2}{3}m_a$, $OA_1 = \frac{1}{3}m_a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $OB_1 = \frac{1}{3}m_b$.

Поскольку медианы перпендикулярны, угол между ними в точке пересечения $O$ равен $90^\circ$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOB_1$ и $\triangle BOA_1$.
Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AB_1 = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BA_1 = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Применим теорему Пифагора к этим треугольникам.
Для $\triangle AOB_1$ имеем: $AO^2 + OB_1^2 = AB_1^2$. Подставив выражения для отрезков медиан, получим:$(\frac{2}{3}m_a)^2 + (\frac{1}{3}m_b)^2 = 3^2$,что приводит к уравнению $\frac{4}{9}m_a^2 + \frac{1}{9}m_b^2 = 9$.Умножив обе части на 9, получим первое уравнение: $4m_a^2 + m_b^2 = 81$.

Аналогично для $\triangle BOA_1$: $BO^2 + OA_1^2 = BA_1^2$. Подставив выражения, получим:$(\frac{2}{3}m_b)^2 + (\frac{1}{3}m_a)^2 = 4^2$,что приводит к уравнению $\frac{4}{9}m_b^2 + \frac{1}{9}m_a^2 = 16$.Умножив обе части на 9, получим второе уравнение: $m_a^2 + 4m_b^2 = 144$.

Теперь необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными $m_a^2$ и $m_b^2$:

Сложим эти два уравнения: $(4m_a^2 + m_b^2) + (m_a^2 + 4m_b^2) = 81 + 144$, что дает $5m_a^2 + 5m_b^2 = 225$, или $m_a^2 + m_b^2 = 45$.Выразим $m_b^2 = 45 - m_a^2$ и подставим в первое уравнение системы: $4m_a^2 + (45 - m_a^2) = 81$.Отсюда $3m_a^2 = 36$, и $m_a^2 = 12$.Тогда $m_b^2 = 45 - 12 = 33$.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ можно найти, используя свойство точки пересечения медиан (центроида). Существует формула, связывающая площадь треугольника с длинами двух его медиан и углом между ними: $S_{ABC} = \frac{2}{3}m_a m_b \sin\alpha$.Поскольку по условию медианы перпендикулярны, угол $\alpha = 90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1$.Таким образом, формула для нашего случая упрощается:

Мы нашли $m_a^2 = 12$ и $m_b^2 = 33$, значит, $m_a = \sqrt{12}$ и $m_b = \sqrt{33}$.Вычислим площадь:

Упростим корень: $\sqrt{396} = \sqrt{36 \cdot 11} = 6\sqrt{11}$.Подставим это значение обратно в формулу площади:

Ответ: $4\sqrt{11}$ см².