Номер 5.5, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. При каких значениях $c$ прямая $2x + y + c = 0$ и окружность $x^2 + y^2 = 4$:

1) пересекаются;

2) не пересекаются;

3) касаются?

Для определения взаимного расположения прямой и окружности мы можем использовать геометрический подход. Он заключается в сравнении расстояния от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

Сначала определим параметры окружности. Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ является каноническим уравнением окружности вида $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда следует, что центр окружности находится в начале координат, точке $O(0, 0)$, а ее радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем расстояние $d$ от центра окружности $O(0, 0)$ до прямой $2x + y + c = 0$. Формула для вычисления расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ выглядит так:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
В нашем случае $A=2, B=1, C=c, x_0=0$ и $y_0=0$. Подставим эти значения в формулу:
$d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{4+1}} = \frac{|c|}{\sqrt{5}}$

Взаимное расположение прямой и окружности зависит от соотношения между $d$ и $R$:
• Прямая и окружность пересекаются в двух точках, если $d < R$.
• Прямая и окружность не имеют общих точек, если $d > R$.
• Прямая и окружность касаются (имеют одну общую точку), если $d = R$.

Теперь рассмотрим каждый случай, подставив найденные значения $d = \frac{|c|}{\sqrt{5}}$ и $R=2$.

1) пересекаются
Этот случай соответствует условию $d < R$.
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} < 2$
$|c| < 2\sqrt{5}$
Данное неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству:
$-2\sqrt{5} < c < 2\sqrt{5}$
Это означает, что $c$ принадлежит интервалу $(-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5})$.
Ответ: $c \in (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5})$.

2) не пересекаются
Этот случай соответствует условию $d > R$.
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} > 2$
$|c| > 2\sqrt{5}$
Это неравенство выполняется, когда $c > 2\sqrt{5}$ или $c < -2\sqrt{5}$.
В виде объединения интервалов это записывается как $c \in (-\infty; -2\sqrt{5}) \cup (2\sqrt{5}; \infty)$.
Ответ: $c \in (-\infty; -2\sqrt{5}) \cup (2\sqrt{5}; \infty)$.

3) касаются
Этот случай соответствует условию $d = R$.
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} = 2$
$|c| = 2\sqrt{5}$
Это равенство имеет два решения:
$c = 2\sqrt{5}$ и $c = -2\sqrt{5}$.
Ответ: $c = \pm 2\sqrt{5}$.