Номер 4.59, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Уравнения прямой и окружности. Раздел 4. Прямоугольная система координат на плоскости - номер 4.59, страница 100.

Учебник rus.

4.59. Даны точки А и В. Какой фигурой является геометрическое место всех точек К, удовлетворяющих уравнению:

1) $2AK^2 - BK^2 = 2AB^2$;

2) $AK^2 + 2BK^2 = 6AB^2$?

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим точки A и B на ось абсцисс. Пусть точка A имеет координаты $(0, 0)$, а точка B — $(c, 0)$, где $c$ — это длина отрезка AB, то есть $c = AB$. Пусть искомая точка K имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Тогда квадраты расстояний от точки K до точек A и B, а также между A и B, можно выразить через их координаты:

$AK^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

$BK^2 = (x-c)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

$AB^2 = (c-0)^2 + (0-0)^2 = c^2$

Теперь рассмотрим каждое из уравнений.

1) Исходное уравнение: $2AK^2 - BK^2 = 2AB^2$.
Подставим в него координатные выражения:
$2(x^2 + y^2) - (x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 2c^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 2y^2 - x^2 + 2cx - c^2 - y^2 = 2c^2$
$x^2 + y^2 + 2cx - c^2 = 2c^2$
$x^2 + 2cx + y^2 = 3c^2$
Для того чтобы определить геометрический смысл этого уравнения, выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2 + 2cx + c^2) - c^2 + y^2 = 3c^2$
$(x+c)^2 + y^2 = 4c^2$
$(x - (-c))^2 + (y - 0)^2 = (2c)^2$
Это каноническое уравнение окружности с центром в точке C с координатами $(-c, 0)$ и радиусом $R = 2c$.
Точка A имеет координаты $(0,0)$, а точка B — $(c,0)$. Центр C $(-c, 0)$ расположен на прямой AB, причем точка A является серединой отрезка CB, так как ее координата $(0)$ является полусуммой координат C $(-c)$ и B $(c)$. Радиус окружности $R = 2c = 2AB$.
Ответ: Окружность с центром в точке C, такой, что точка A является серединой отрезка CB, и радиусом $R = 2AB$.

2) Исходное уравнение: $AK^2 + 2BK^2 = 6AB^2$.
Подставим в него координатные выражения, используя ту же систему координат:
$(x^2 + y^2) + 2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 6c^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + y^2 + 2x^2 - 4cx + 2c^2 + 2y^2 = 6c^2$
$3x^2 - 4cx + 3y^2 + 2c^2 = 6c^2$
$3x^2 - 4cx + 3y^2 = 4c^2$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 - \frac{4c}{3}x + y^2 = \frac{4c^2}{3}$
Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2c}{3} + (\frac{2c}{3})^2) - (\frac{2c}{3})^2 + y^2 = \frac{4c^2}{3}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + y^2 = \frac{4c^2}{3} + \frac{4c^2}{9}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + y^2 = \frac{12c^2 + 4c^2}{9}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + (y-0)^2 = \frac{16c^2}{9}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + (y-0)^2 = (\frac{4c}{3})^2$
Это уравнение окружности с центром в точке D с координатами $(\frac{2c}{3}, 0)$ и радиусом $R = \frac{4c}{3}$.
Центр D$(\frac{2c}{3}, 0)$ лежит на отрезке AB. Найдем, в каком отношении точка D делит отрезок AB: $AD = \frac{2c}{3} = \frac{2}{3}AB$ $DB = c - \frac{2c}{3} = \frac{c}{3} = \frac{1}{3}AB$ Следовательно, $AD:DB = 2:1$. Радиус окружности $R = \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}AB$.
Ответ: Окружность с центром в точке D, делящей отрезок AB в отношении $AD:DB = 2:1$, и радиусом $R = \frac{4}{3}AB$.