Страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.48. Напишите уравнение окружности, касающейся оси $Ox$, с центром в точке $C(1; 2)$.

4.48. Для решения этой задачи воспользуемся стандартным уравнением окружности. Уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Из условия задачи нам известны координаты центра окружности — точка $C(1; 2)$. Таким образом, мы имеем:
$x_0 = 1$
$y_0 = 2$

Также в условии сказано, что окружность касается оси $Ox$. Ось $Ox$ — это горизонтальная ось, все точки которой имеют координату $y=0$.
Когда окружность касается прямой, расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу окружности.
Расстояние от точки $C(x_0; y_0)$ до оси $Ox$ равно абсолютному значению ее ординаты (координаты $y$).
Следовательно, радиус $R$ нашей окружности равен:
$R = |y_0| = |2| = 2$

Теперь, зная координаты центра $(1; 2)$ и радиус $R = 2$, мы можем подставить эти значения в стандартное уравнение окружности:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

Выполним возведение в квадрат в правой части уравнения:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

4.49. Напишите уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), про-ходящей через начало координат.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности находится в точке с координатами $(-3; 4)$. Следовательно, $x_0 = -3$ и $y_0 = 4$.

Подставим координаты центра в уравнение окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = R^2$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = R^2$

Так как окружность проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$, то ее радиус $R$ будет равен расстоянию от центра окружности $(-3; 4)$ до начала координат $(0; 0)$.

Вычислим квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между этими двумя точками. Это позволяет избежать вычисления квадратного корня и сразу получить значение для уравнения.

$R^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

$R^2 = (0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение окружности:

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

4.50. Найдите координаты центра и радиус окружностей, заданных следующими уравнениями:

1) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25;$
2) $x^2 + (y + 7)^2 = 1;$
3) $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0;$
4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0;$
5) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0;$
6) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0.$

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Чтобы найти центр и радиус для каждого случая, мы либо напрямую сравниваем данное уравнение с каноническим, либо приводим его к этому виду методом выделения полного квадрата.

1) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Это уравнение уже находится в каноническом виде. Перепишем его для наглядности: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.

Сравнивая с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, получаем:

Координаты центра: $a = 1$, $b = -2$.

Радиус: $R^2 = 25$, значит $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Координаты центра $(1, -2)$, радиус $5$.

2) $x^2 + (y + 7)^2 = 1$

Это уравнение также находится в каноническом виде. Перепишем его для наглядности: $(x - 0)^2 + (y - (-7))^2 = 1^2$.

Сравнивая с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, получаем:

Координаты центра: $a = 0$, $b = -7$.

Радиус: $R^2 = 1$, значит $R = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: Координаты центра $(0, -7)$, радиус $1$.

3) $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем члены: $(x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 16 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + 8x = (x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2) - 4^2 = (x + 4)^2 - 16$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 - 4y = (y^2 - 2 \cdot 2 \cdot y + 2^2) - 2^2 = (y - 2)^2 - 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x + 4)^2 - 16) + ((y - 2)^2 - 4) + 16 = 0$

$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0$

$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 2^2$.

Координаты центра: $(-4, 2)$.

Радиус: $R = 2$.

Ответ: Координаты центра $(-4, 2)$, радиус $2$.

4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 20 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot 2 \cdot y + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) - 20 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.

Координаты центра: $(1, -2)$.

Радиус: $R = 5$.

Ответ: Координаты центра $(1, -2)$, радиус $5$.

5) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены: $(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot 1 \cdot y + 1^2) - 1^2 = (y - 1)^2 - 1$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + ((y - 1)^2 - 1) + 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$.

Координаты центра: $(2, 1)$.

Радиус: $R = 2$.

Ответ: Координаты центра $(2, 1)$, радиус $2$.

6) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 6x = (x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2) - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot 2 \cdot y + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x - 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 9 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$.

Координаты центра: $(3, -2)$.

Радиус: $R = 3$.

Ответ: Координаты центра $(3, -2)$, радиус $3$.

4.51. Известно, что первая координата (абсцисса) точки C, лежащей на прямой AB, равна 5. Найдите вторую координату точки C, если $A(-8; -6)$ и $B(-31; -1)$.

Для того чтобы найти вторую координату точки С, нам необходимо сначала составить уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет следующий вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим в это уравнение координаты точек A(-8; -6) и B(-31; -1):

$x_1 = -8$, $y_1 = -6$

$x_2 = -31$, $y_2 = -1$

Получим уравнение прямой АВ:

$\frac{x - (-8)}{-31 - (-8)} = \frac{y - (-6)}{-1 - (-6)}$

$\frac{x + 8}{-31 + 8} = \frac{y + 6}{-1 + 6}$

$\frac{x + 8}{-23} = \frac{y + 6}{5}$

Теперь, зная уравнение прямой AB, мы можем найти вторую координату точки C. По условию, точка C лежит на этой прямой, а ее первая координата (абсцисса) равна 5. Обозначим искомую вторую координату (ординату) как $y_C$. Таким образом, точка C имеет координаты $(5; y_C)$.

Подставим значение $x = 5$ в уравнение прямой, чтобы найти $y_C$:

$\frac{5 + 8}{-23} = \frac{y_C + 6}{5}$

$\frac{13}{-23} = \frac{y_C + 6}{5}$

Выразим $y_C$ из этого уравнения. Для этого можно использовать правило пропорции:

$5 \cdot 13 = -23 \cdot (y_C + 6)$

$65 = -23y_C - 138$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $y_C$:

$23y_C = -138 - 65$

$23y_C = -203$

$y_C = -\frac{203}{23}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа для наглядности, разделив 203 на 23 с остатком:

$203 = 23 \cdot 8 + 19$

Следовательно, $y_C = -8\frac{19}{23}$.

Ответ: вторая координата точки C равна $-\frac{203}{23}$ (или $-8\frac{19}{23}$).

4.52. Диагонали ромба, равные 10 см и 4 см, лежат на осях координат. Напишите уравнения прямых, проходящих через стороны ромба.

По условию задачи, диагонали ромба лежат на осях координат. Это означает, что центр ромба совпадает с началом координат O(0, 0), а его вершины находятся на осях Ox и Oy. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Пусть длины диагоналей равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 4$ см. Поскольку в условии не указано, какая из диагоналей лежит на какой оси, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Большая диагональ (10 см) лежит на оси Ox, меньшая (4 см) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $10/2 = 5$ и $4/2 = 2$. Вершины ромба имеют следующие координаты: A(5, 0), B(0, 2), C(-5, 0) и D(0, -2).

Для нахождения уравнений прямых, проходящих через стороны ромба, удобно использовать уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где a и b — это величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Уравнение стороны AB, проходящей через точки A(5, 0) и B(0, 2):

Здесь $a = 5$, $b = 2$. Подставляем в формулу: $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1$.

Умножив обе части на 10, получим общее уравнение прямой: $2x + 5y = 10$, или $2x + 5y - 10 = 0$.

Уравнение стороны BC, проходящей через точки B(0, 2) и C(-5, 0):

Здесь $a = -5$, $b = 2$. Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{2} = 1$.

Преобразовав, получаем: $-2x + 5y = 10$, или $2x - 5y + 10 = 0$.

Уравнение стороны CD, проходящей через точки C(-5, 0) и D(0, -2):

Здесь $a = -5$, $b = -2$. Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{-2} = 1$.

Преобразовав, получаем: $2x + 5y = -10$, или $2x + 5y + 10 = 0$.

Уравнение стороны DA, проходящей через точки D(0, -2) и A(5, 0):

Здесь $a = 5$, $b = -2$. Уравнение: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-2} = 1$.

Преобразовав, получаем: $2x - 5y = 10$, или $2x - 5y - 10 = 0$.

Случай 2: Меньшая диагональ (4 см) лежит на оси Ox, большая (10 см) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $4/2 = 2$ и $10/2 = 5$. Вершины ромба имеют координаты: A(2, 0), B(0, 5), C(-2, 0) и D(0, -5).

Аналогично первому случаю, находим уравнения сторон:

Сторона AB ($a=2, b=5$): $\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1 \implies 5x + 2y = 10 \implies 5x + 2y - 10 = 0$.

Сторона BC ($a=-2, b=5$): $\frac{x}{-2} + \frac{y}{5} = 1 \implies -5x + 2y = 10 \implies 5x - 2y + 10 = 0$.

Сторона CD ($a=-2, b=-5$): $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-5} = 1 \implies 5x + 2y = -10 \implies 5x + 2y + 10 = 0$.

Сторона DA ($a=2, b=-5$): $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1 \implies 5x - 2y = 10 \implies 5x - 2y - 10 = 0$.

Ответ:

Поскольку условие не уточняет, на какой из осей находится каждая диагональ, задача имеет два возможных решения.

Вариант 1 (диагональ 10 см на оси Ox):

$2x + 5y - 10 = 0$

$2x - 5y + 10 = 0$

$2x + 5y + 10 = 0$

$2x - 5y - 10 = 0$

Вариант 2 (диагональ 4 см на оси Ox):

$5x + 2y - 10 = 0$

$5x - 2y + 10 = 0$

$5x + 2y + 10 = 0$

$5x - 2y - 10 = 0$

4.53. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку A(1; 4), с центром, лежащим на оси $O_x$, и радиусом, равным 5.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности лежит на оси $Ox$. Это означает, что ордината центра $y_0$ равна 0. Таким образом, центр окружности — это точка $C(x_0; 0)$.

Радиус окружности, согласно условию, равен $R = 5$.

Подставим известные значения $y_0 = 0$ и $R = 5$ в общее уравнение окружности:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$

Также известно, что окружность проходит через точку $A(1; 4)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = 1$ и $y = 4$ в полученное уравнение, чтобы найти абсциссу центра $x_0$:

$(1 - x_0)^2 + 4^2 = 25$

$(1 - x_0)^2 + 16 = 25$

Выразим $(1 - x_0)^2$:

$(1 - x_0)^2 = 25 - 16$

$(1 - x_0)^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для выражения $(1 - x_0)$:

1) $1 - x_0 = 3$

$x_0 = 1 - 3 = -2$

В этом случае центр окружности находится в точке $C_1(-2; 0)$, и уравнение окружности будет:

$(x - (-2))^2 + y^2 = 25$

$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

2) $1 - x_0 = -3$

$x_0 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$

В этом случае центр окружности находится в точке $C_2(4; 0)$, и уравнение окружности будет:

$(x - 4)^2 + y^2 = 25$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две окружности.

Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ и $(x - 4)^2 + y^2 = 25$.

4.54. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A(3; 0), B(-1; 2), с центром, лежащим на прямой $y = x + 2$.

4.54. Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

По условию, центр окружности $(x_0, y_0)$ лежит на прямой $y = x + 2$. Следовательно, координаты центра связаны соотношением: $y_0 = x_0 + 2$.

Так как окружность проходит через точки $A(3; 0)$ и $B(-1; 2)$, эти точки равноудалены от центра. Квадрат расстояния от центра до любой из этих точек равен квадрату радиуса $R^2$. Запишем выражения для квадрата радиуса, используя координаты точек $A$ и $B$:
$R^2 = (3 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2$
$R^2 = (-1 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2$

Приравняем правые части этих уравнений, так как они обе равны $R^2$:
$(3 - x_0)^2 + y_0^2 = (-1 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $y_0$ из уравнения прямой, то есть $y_0 = x_0 + 2$:
$(3 - x_0)^2 + (x_0 + 2)^2 = (-1 - x_0)^2 + (2 - (x_0 + 2))^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x_0$:
$(9 - 6x_0 + x_0^2) + (x_0^2 + 4x_0 + 4) = (1 + 2x_0 + x_0^2) + (2 - x_0 - 2)^2$
$2x_0^2 - 2x_0 + 13 = (1 + 2x_0 + x_0^2) + (-x_0)^2$
$2x_0^2 - 2x_0 + 13 = 1 + 2x_0 + x_0^2 + x_0^2$
$2x_0^2 - 2x_0 + 13 = 2x_0^2 + 2x_0 + 1$
Приведем подобные члены:
$-2x_0 - 2x_0 = 1 - 13$
$-4x_0 = -12$
$x_0 = 3$

Теперь найдем координату $y_0$ центра:
$y_0 = x_0 + 2 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, центр окружности находится в точке $C(3; 5)$.

Осталось найти квадрат радиуса $R^2$. Подставим координаты центра $C(3; 5)$ и, например, точки $A(3; 0)$ в уравнение для $R^2$:
$R^2 = (3 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$

Итак, мы нашли все параметры: центр $(3; 5)$ и квадрат радиуса $R^2 = 25$. Запишем итоговое уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$.

4.55. Напишите уравнение окружности, которая проходит через три данные точки:

1) $A(1; -4)$, $B(4; 5)$, $C(3; -2)$;

2) $A(3; -7)$, $B(8; -2)$, $C(6; 2)$.

1) A(1; -4), B(4; 5), C(3; -2)

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности O, а $R$ — её радиус. Так как все три точки A, B и C лежат на окружности, они должны быть равноудалены от её центра. Это означает, что квадраты расстояний от центра до каждой из точек равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Составим систему уравнений для нахождения координат центра $(x_0, y_0)$.
Приравняем квадраты расстояний $OA^2$ и $OB^2$:
$(1 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 = (4 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2$
$1 - 2x_0 + x_0^2 + 16 + 8y_0 + y_0^2 = 16 - 8x_0 + x_0^2 + 25 - 10y_0 + y_0^2$
$17 - 2x_0 + 8y_0 = 41 - 8x_0 - 10y_0$
$6x_0 + 18y_0 = 24$
$x_0 + 3y_0 = 4$

Теперь приравняем квадраты расстояний $OA^2$ и $OC^2$:
$(1 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 = (3 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2$
$1 - 2x_0 + x_0^2 + 16 + 8y_0 + y_0^2 = 9 - 6x_0 + x_0^2 + 4 + 4y_0 + y_0^2$
$17 - 2x_0 + 8y_0 = 13 - 6x_0 + 4y_0$
$4x_0 + 4y_0 = -4$
$x_0 + y_0 = -1$

Решим полученную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x_0 + 3y_0 = 4 \\ x_0 + y_0 = -1 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(x_0 + 3y_0) - (x_0 + y_0) = 4 - (-1)$, что дает $2y_0 = 5$, откуда $y_0 = 2.5$.
Подставим $y_0 = 2.5$ во второе уравнение: $x_0 + 2.5 = -1$, откуда $x_0 = -3.5$.
Таким образом, центр окружности — O$(-3.5; 2.5)$.

Далее найдем квадрат радиуса $R^2$, используя, например, точку A:
$R^2 = OA^2 = (1 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 = (1 - (-3.5))^2 + (-4 - 2.5)^2 = (4.5)^2 + (-6.5)^2 = 20.25 + 42.25 = 62.5$.

Ответ: $(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

2) A(3; -7), B(8; -2), C(6; 2)

Действуем аналогично первому пункту. Находим центр окружности O$(x_0, y_0)$ из условия $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Приравниваем $OA^2$ и $OB^2$:
$(3 - x_0)^2 + (-7 - y_0)^2 = (8 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2$
$9 - 6x_0 + x_0^2 + 49 + 14y_0 + y_0^2 = 64 - 16x_0 + x_0^2 + 4 + 4y_0 + y_0^2$
$58 - 6x_0 + 14y_0 = 68 - 16x_0 + 4y_0$
$10x_0 + 10y_0 = 10$
$x_0 + y_0 = 1$

Приравниваем $OB^2$ и $OC^2$:
$(8 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2 = (6 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2$
$64 - 16x_0 + x_0^2 + 4 + 4y_0 + y_0^2 = 36 - 12x_0 + x_0^2 + 4 - 4y_0 + y_0^2$
$68 - 16x_0 + 4y_0 = 40 - 12x_0 - 4y_0$
$-4x_0 + 8y_0 = -28$
$x_0 - 2y_0 = 7$

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x_0 + y_0 = 1 \\ x_0 - 2y_0 = 7 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(x_0 + y_0) - (x_0 - 2y_0) = 1 - 7$, что дает $3y_0 = -6$, откуда $y_0 = -2$.
Подставим $y_0 = -2$ в первое уравнение: $x_0 + (-2) = 1$, откуда $x_0 = 3$.
Центр окружности — O$(3; -2)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ (используем точку A):
$R^2 = OA^2 = (3 - 3)^2 + (-7 - (-2))^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

4.56. Вершины треугольника находятся в точках: $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$. Напишите уравнение прямых, проходящих через:

1) срединные перпендикуляры;

2) стороны;

3) среднюю линию.

Дан треугольник с вершинами в точках A(-7; 5), B(3; -1), C(5; 3).

1) серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему. Для нахождения уравнения серединного перпендикуляра для каждой стороны треугольника, мы сначала найдем координаты середины стороны, затем угловой коэффициент прямой, содержащей эту сторону, и, наконец, угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой.

Серединный перпендикуляр к стороне AB:

1. Найдем координаты середины M_AB стороны AB.
$M_{AB} = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{-7+3}{2}; \frac{5+(-1)}{2}) = (-2; 2)$.

2. Найдем угловой коэффициент k_AB прямой AB.
$k_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{-1-5}{3-(-7)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.

3. Угловой коэффициент k₁ серединного перпендикуляра удовлетворяет условию $k_1 \cdot k_{AB} = -1$, следовательно $k_1 = -\frac{1}{k_{AB}}$.
$k_1 = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку M_AB(-2; 2) с угловым коэффициентом $k_1 = 5/3$, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y - y_0 = k(x - x_0)$.
$y - 2 = \frac{5}{3}(x - (-2))$
$3(y - 2) = 5(x + 2)$
$3y - 6 = 5x + 10$
$5x - 3y + 16 = 0$.

Серединный перпендикуляр к стороне BC:

1. Найдем координаты середины M_BC стороны BC.
$M_{BC} = (\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac{3+5}{2}; \frac{-1+3}{2}) = (4; 1)$.

2. Найдем угловой коэффициент k_BC прямой BC.
$k_{BC} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} = \frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Угловой коэффициент k₂ серединного перпендикуляра равен $k_2 = -\frac{1}{k_{BC}}$.
$k_2 = -\frac{1}{2}$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку M_BC(4; 1) с угловым коэффициентом $k_2 = -1/2$.
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2(y - 1) = -(x - 4)$
$2y - 2 = -x + 4$
$x + 2y - 6 = 0$.

Серединный перпендикуляр к стороне AC:

1. Найдем координаты середины M_AC стороны AC.
$M_{AC} = (\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}) = (\frac{-7+5}{2}; \frac{5+3}{2}) = (-1; 4)$.

2. Найдем угловой коэффициент k_AC прямой AC.
$k_{AC} = \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = \frac{3-5}{5-(-7)} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

3. Угловой коэффициент k₃ серединного перпендикуляра равен $k_3 = -\frac{1}{k_{AC}}$.
$k_3 = -\frac{1}{-1/6} = 6$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку M_AC(-1; 4) с угловым коэффициентом $k_3 = 6$.
$y - 4 = 6(x - (-1))$
$y - 4 = 6x + 6$
$6x - y + 10 = 0$.

Ответ: Уравнения серединных перпендикуляров: $5x - 3y + 16 = 0$, $x + 2y - 6 = 0$, $6x - y + 10 = 0$.

2) стороны

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Уравнение стороны AB (точки A(-7; 5) и B(3; -1)):
$\frac{x - (-7)}{3 - (-7)} = \frac{y - 5}{-1 - 5}$
$\frac{x + 7}{10} = \frac{y - 5}{-6}$
$-6(x + 7) = 10(y - 5)$
Разделим обе части на -2:
$3(x + 7) = -5(y - 5)$
$3x + 21 = -5y + 25$
$3x + 5y - 4 = 0$.

Уравнение стороны BC (точки B(3; -1) и C(5; 3)):
$\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{4}$
$4(x - 3) = 2(y + 1)$
Разделим обе части на 2:
$2(x - 3) = y + 1$
$2x - 6 = y + 1$
$2x - y - 7 = 0$.

Уравнение стороны AC (точки A(-7; 5) и C(5; 3)):
$\frac{x - (-7)}{5 - (-7)} = \frac{y - 5}{3 - 5}$
$\frac{x + 7}{12} = \frac{y - 5}{-2}$
$-2(x + 7) = 12(y - 5)$
Разделим обе части на -2:
$x + 7 = -6(y - 5)$
$x + 7 = -6y + 30$
$x + 6y - 23 = 0$.

Ответ: Уравнения сторон: AB: $3x + 5y - 4 = 0$; BC: $2x - y - 7 = 0$; AC: $x + 6y - 23 = 0$.

3) среднюю линию

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне. В треугольнике три средние линии. Найдем уравнения прямых, содержащих эти линии.

Координаты середин сторон (найдены в пункте 1): M_AB(-2; 2), M_BC(4; 1), M_AC(-1; 4).

Уравнение средней линии можно найти как уравнение прямой, проходящей через середины двух сторон, или как уравнение прямой, проходящей через одну середину параллельно третьей стороне.

Уравнение средней линии M_ACM_BC (параллельна AB):
Эта прямая проходит через точку M_AC(-1; 4) и имеет угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту стороны AB: $k_{AB} = -3/5$.
$y - 4 = -\frac{3}{5}(x - (-1))$
$5(y - 4) = -3(x + 1)$
$5y - 20 = -3x - 3$
$3x + 5y - 17 = 0$.

Уравнение средней линии M_ABM_AC (параллельна BC):
Эта прямая проходит через точку M_AB(-2; 2) и имеет угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту стороны BC: $k_{BC} = 2$.
$y - 2 = 2(x - (-2))$
$y - 2 = 2x + 4$
$2x - y + 6 = 0$.

Уравнение средней линии M_ABM_BC (параллельна AC):
Эта прямая проходит через точку M_AB(-2; 2) и имеет угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту стороны AC: $k_{AC} = -1/6$.
$y - 2 = -\frac{1}{6}(x - (-2))$
$6(y - 2) = -(x + 2)$
$6y - 12 = -x - 2$
$x + 6y - 10 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, содержащих средние линии: $3x + 5y - 17 = 0$, $2x - y + 6 = 0$, $x + 6y - 10 = 0$.

4.57. Докажите, что значение разности $(AF^2 + CF^2) - (BF^2 + DF^2)$ для точки F и параллелограмма ABCD постоянно и не зависит от точки F.

Для доказательства воспользуемся свойством медианы в треугольнике. Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм, а $F$ — произвольная точка. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, следовательно, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AFC$. Отрезок $FO$ соединяет вершину $F$ с серединой противолежащей стороны $AC$, значит, $FO$ является медианой этого треугольника.

Согласно теореме о медиане (теореме Аполлония), сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадрата медианы и квадрата половины третьей стороны. Применительно к $\triangle AFC$ и его медиане $FO$ это свойство записывается в виде формулы:

$AF^2 + CF^2 = 2(FO^2 + AO^2)$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BFD$. Аналогично, отрезок $FO$ является медианой этого треугольника, так как соединяет вершину $F$ с серединой стороны $BD$. Применяя теорему о медиане к $\triangle BFD$, получаем:

$BF^2 + DF^2 = 2(FO^2 + BO^2)$

Вычислим значение исходного выражения, подставив в него полученные равенства:

$(AF^2 + CF^2) - (BF^2 + DF^2) = 2(FO^2 + AO^2) - 2(FO^2 + BO^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2 \cdot FO^2 + 2 \cdot AO^2 - 2 \cdot FO^2 - 2 \cdot BO^2 = 2(AO^2 - BO^2)$

Величины $AO$ и $BO$ — это половины длин диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Для заданного параллелограмма $ABCD$ длины его диагоналей являются постоянными, следовательно, длины отрезков $AO$ и $BO$ также являются постоянными величинами. Таким образом, значение выражения $2(AO^2 - BO^2)$ является константой, которая зависит только от размеров параллелограмма и не зависит от положения точки $F$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение разности $(AF^2 + CF^2) - (BF^2 + DF^2)$ постоянно и не зависит от выбора точки $F$.

4.58. 1) Докажите, что медиана AA₁ треугольника ABC вычисляется по формуле $AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$.

2) Используя эту формулу, докажите, что треугольник с двумя равными медианами является равнобедренным.

1)

Для доказательства формулы длины медианы воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма. Пусть дан треугольник $ABC$, и $AA_1$ — его медиана, проведенная к стороне $BC$.

1. На продолжении медианы $AA_1$ за точку $A_1$ отложим отрезок $A_1D$, равный $AA_1$. Таким образом, $AD = 2AA_1$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $A_1$. По определению медианы, $A_1$ — середина стороны $BC$, то есть $BA_1 = A_1C$. По построению, $A_1$ — середина отрезка $AD$, так как $AA_1 = A_1D$.

3. Четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм.

4. Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ABDC$ это свойство записывается так:

$AD^2 + BC^2 = AB^2 + BD^2 + DC^2 + CA^2$

5. Так как $ABDC$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $BD = AC$ и $DC = AB$. Подставим эти равенства в формулу:

$AD^2 + BC^2 = AB^2 + AC^2 + AB^2 + AC^2$

$AD^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$

6. Вспомним, что по построению $AD = 2AA_1$. Подставим это в полученное уравнение:

$(2AA_1)^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2$

$4AA_1^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2$

7. Выразим из этого уравнения $AA_1^2$:

$4AA_1^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - BC^2$

$AA_1^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$

8. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти длину $AA_1$:

$AA_1 = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две медианы: $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. По условию, эти медианы равны: $AA_1 = BB_1$.

Воспользуемся доказанной в пункте 1) формулой для вычисления длины каждой из этих медиан.

Длина медианы $AA_1$ вычисляется по формуле:

$AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$

Длина медианы $BB_1$, проведенной к стороне $AC$, вычисляется аналогично. В этой формуле стороны $AC$ и $BC$ (как сторона, к которой проведена медиана) и $AB$ и $BC$ (как боковые стороны) меняются местами:

$BB_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}$

Поскольку $AA_1 = BB_1$, мы можем приравнять выражения для их длин:

$\frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}$

Умножим обе части уравнения на 2 и возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$2AB^2 + 2AC^2 - BC^2 = 2AB^2 + 2BC^2 - AC^2$

Сократим одинаковые члены $2AB^2$ в обеих частях уравнения:

$2AC^2 - BC^2 = 2BC^2 - AC^2$

Перенесем члены с $AC^2$ в левую часть, а члены с $BC^2$ — в правую:

$2AC^2 + AC^2 = 2BC^2 + BC^2$

$3AC^2 = 3BC^2$

Разделим обе части на 3:

$AC^2 = BC^2$

Поскольку длины сторон являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$AC = BC$

В треугольнике $ABC$ две стороны ($AC$ и $BC$) равны. Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4.59. Даны точки А и В. Какой фигурой является геометрическое место всех точек К, удовлетворяющих уравнению:

1) $2AK^2 - BK^2 = 2AB^2$;

2) $AK^2 + 2BK^2 = 6AB^2$?

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим точки A и B на ось абсцисс. Пусть точка A имеет координаты $(0, 0)$, а точка B — $(c, 0)$, где $c$ — это длина отрезка AB, то есть $c = AB$. Пусть искомая точка K имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Тогда квадраты расстояний от точки K до точек A и B, а также между A и B, можно выразить через их координаты:

$AK^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

$BK^2 = (x-c)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

$AB^2 = (c-0)^2 + (0-0)^2 = c^2$

Теперь рассмотрим каждое из уравнений.

1) Исходное уравнение: $2AK^2 - BK^2 = 2AB^2$.
Подставим в него координатные выражения:
$2(x^2 + y^2) - (x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 2c^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 2y^2 - x^2 + 2cx - c^2 - y^2 = 2c^2$
$x^2 + y^2 + 2cx - c^2 = 2c^2$
$x^2 + 2cx + y^2 = 3c^2$
Для того чтобы определить геометрический смысл этого уравнения, выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2 + 2cx + c^2) - c^2 + y^2 = 3c^2$
$(x+c)^2 + y^2 = 4c^2$
$(x - (-c))^2 + (y - 0)^2 = (2c)^2$
Это каноническое уравнение окружности с центром в точке C с координатами $(-c, 0)$ и радиусом $R = 2c$.
Точка A имеет координаты $(0,0)$, а точка B — $(c,0)$. Центр C $(-c, 0)$ расположен на прямой AB, причем точка A является серединой отрезка CB, так как ее координата $(0)$ является полусуммой координат C $(-c)$ и B $(c)$. Радиус окружности $R = 2c = 2AB$.
Ответ: Окружность с центром в точке C, такой, что точка A является серединой отрезка CB, и радиусом $R = 2AB$.

2) Исходное уравнение: $AK^2 + 2BK^2 = 6AB^2$.
Подставим в него координатные выражения, используя ту же систему координат:
$(x^2 + y^2) + 2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 6c^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + y^2 + 2x^2 - 4cx + 2c^2 + 2y^2 = 6c^2$
$3x^2 - 4cx + 3y^2 + 2c^2 = 6c^2$
$3x^2 - 4cx + 3y^2 = 4c^2$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 - \frac{4c}{3}x + y^2 = \frac{4c^2}{3}$
Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2c}{3} + (\frac{2c}{3})^2) - (\frac{2c}{3})^2 + y^2 = \frac{4c^2}{3}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + y^2 = \frac{4c^2}{3} + \frac{4c^2}{9}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + y^2 = \frac{12c^2 + 4c^2}{9}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + (y-0)^2 = \frac{16c^2}{9}$
$(x - \frac{2c}{3})^2 + (y-0)^2 = (\frac{4c}{3})^2$
Это уравнение окружности с центром в точке D с координатами $(\frac{2c}{3}, 0)$ и радиусом $R = \frac{4c}{3}$.
Центр D$(\frac{2c}{3}, 0)$ лежит на отрезке AB. Найдем, в каком отношении точка D делит отрезок AB: $AD = \frac{2c}{3} = \frac{2}{3}AB$ $DB = c - \frac{2c}{3} = \frac{c}{3} = \frac{1}{3}AB$ Следовательно, $AD:DB = 2:1$. Радиус окружности $R = \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}AB$.
Ответ: Окружность с центром в точке D, делящей отрезок AB в отношении $AD:DB = 2:1$, и радиусом $R = \frac{4}{3}AB$.