Номер 4.55, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. Напишите уравнение окружности, которая проходит через три данные точки:

1) $A(1; -4)$, $B(4; 5)$, $C(3; -2)$;

2) $A(3; -7)$, $B(8; -2)$, $C(6; 2)$.

1) A(1; -4), B(4; 5), C(3; -2)

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности O, а $R$ — её радиус. Так как все три точки A, B и C лежат на окружности, они должны быть равноудалены от её центра. Это означает, что квадраты расстояний от центра до каждой из точек равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Составим систему уравнений для нахождения координат центра $(x_0, y_0)$.
Приравняем квадраты расстояний $OA^2$ и $OB^2$:
$(1 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 = (4 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2$
$1 - 2x_0 + x_0^2 + 16 + 8y_0 + y_0^2 = 16 - 8x_0 + x_0^2 + 25 - 10y_0 + y_0^2$
$17 - 2x_0 + 8y_0 = 41 - 8x_0 - 10y_0$
$6x_0 + 18y_0 = 24$
$x_0 + 3y_0 = 4$

Теперь приравняем квадраты расстояний $OA^2$ и $OC^2$:
$(1 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 = (3 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2$
$1 - 2x_0 + x_0^2 + 16 + 8y_0 + y_0^2 = 9 - 6x_0 + x_0^2 + 4 + 4y_0 + y_0^2$
$17 - 2x_0 + 8y_0 = 13 - 6x_0 + 4y_0$
$4x_0 + 4y_0 = -4$
$x_0 + y_0 = -1$

Решим полученную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x_0 + 3y_0 = 4 \\ x_0 + y_0 = -1 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(x_0 + 3y_0) - (x_0 + y_0) = 4 - (-1)$, что дает $2y_0 = 5$, откуда $y_0 = 2.5$.
Подставим $y_0 = 2.5$ во второе уравнение: $x_0 + 2.5 = -1$, откуда $x_0 = -3.5$.
Таким образом, центр окружности — O$(-3.5; 2.5)$.

Далее найдем квадрат радиуса $R^2$, используя, например, точку A:
$R^2 = OA^2 = (1 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 = (1 - (-3.5))^2 + (-4 - 2.5)^2 = (4.5)^2 + (-6.5)^2 = 20.25 + 42.25 = 62.5$.

Ответ: $(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

2) A(3; -7), B(8; -2), C(6; 2)

Действуем аналогично первому пункту. Находим центр окружности O$(x_0, y_0)$ из условия $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Приравниваем $OA^2$ и $OB^2$:
$(3 - x_0)^2 + (-7 - y_0)^2 = (8 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2$
$9 - 6x_0 + x_0^2 + 49 + 14y_0 + y_0^2 = 64 - 16x_0 + x_0^2 + 4 + 4y_0 + y_0^2$
$58 - 6x_0 + 14y_0 = 68 - 16x_0 + 4y_0$
$10x_0 + 10y_0 = 10$
$x_0 + y_0 = 1$

Приравниваем $OB^2$ и $OC^2$:
$(8 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2 = (6 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2$
$64 - 16x_0 + x_0^2 + 4 + 4y_0 + y_0^2 = 36 - 12x_0 + x_0^2 + 4 - 4y_0 + y_0^2$
$68 - 16x_0 + 4y_0 = 40 - 12x_0 - 4y_0$
$-4x_0 + 8y_0 = -28$
$x_0 - 2y_0 = 7$

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x_0 + y_0 = 1 \\ x_0 - 2y_0 = 7 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(x_0 + y_0) - (x_0 - 2y_0) = 1 - 7$, что дает $3y_0 = -6$, откуда $y_0 = -2$.
Подставим $y_0 = -2$ в первое уравнение: $x_0 + (-2) = 1$, откуда $x_0 = 3$.
Центр окружности — O$(3; -2)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ (используем точку A):
$R^2 = OA^2 = (3 - 3)^2 + (-7 - (-2))^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$.

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$