Номер 5.2, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.2.Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.

Поскольку условие задачи 5.2 отсылает к предыдущей задаче (5.1), которую мы не видим, будем исходить из наиболее вероятного содержания задачи 5.1. Обычно такие задачи состоят из нескольких частей. Предположим, что в задаче 5.1 требовалось найти центр масс однородного треугольника, а затем найти новый центр масс после добавления точечной массы к одной из вершин. Соответственно, для задачи 5.2 мы решим аналогичные пункты для параллелограмма.

а) Найти положение центра масс однородного параллелограмма.

Для нахождения центра масс однородного параллелограмма можно воспользоваться методом разложения фигуры на более простые части или соображениями симметрии.

Способ 1: Использование симметрии.
Параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии является точка пересечения его диагоналей. Для любого однородного тела (тела с постоянной плотностью) центр масс совпадает с его геометрическим центром симметрии. Следовательно, центр масс однородного параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей.

Способ 2: Метод разложения.
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ с вершинами, имеющими радиус-векторы $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$. Проведем диагональ $AC$, которая разделит параллелограмм на два конгруэнтных (равных) треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Так как параллелограмм однороден, его масса $M$ равномерно распределена по площади. Поэтому массы треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны между собой: $m_1 = m_2 = M/2$.

Центр масс однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан (центроиде). Радиус-вектор центроида равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Найдем центры масс каждого из треугольников:

• Центр масс $C_1$ треугольника $\triangle ABC$: $\vec{r}_{C1} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$

• Центр масс $C_2$ треугольника $\triangle ADC$: $\vec{r}_{C2} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D + \vec{r}_C}{3}$

Центр масс всего параллелограмма $\vec{r}_{CM}$ является центром масс системы, состоящей из двух этих треугольников. Его можно вычислить по формуле для центра масс системы двух тел:

$\vec{r}_{CM} = \frac{m_1 \vec{r}_{C1} + m_2 \vec{r}_{C2}}{m_1 + m_2}$

Поскольку $m_1 = m_2$, формула упрощается до нахождения середины отрезка $C_1C_2$:

$\vec{r}_{CM} = \frac{\vec{r}_{C1} + \vec{r}_{C2}}{2}$

Подставим выражения для $\vec{r}_{C1}$ и $\vec{r}_{C2}$:

$\vec{r}_{CM} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3} + \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_D + \vec{r}_C}{3} \right) = \frac{1}{6} (2\vec{r}_A + \vec{r}_B + 2\vec{r}_C + \vec{r}_D)$

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма радиус-векторов противоположных вершин равна, т.е. $\vec{r}_A + \vec{r}_C = \vec{r}_B + \vec{r}_D$. Заменим в полученном выражении сумму $\vec{r}_B + \vec{r}_D$ на $\vec{r}_A + \vec{r}_C$:

$\vec{r}_{CM} = \frac{1}{6} (2\vec{r}_A + 2\vec{r}_C + (\vec{r}_B + \vec{r}_D)) = \frac{1}{6} (2\vec{r}_A + 2\vec{r}_C + (\vec{r}_A + \vec{r}_C)) = \frac{1}{6} (3\vec{r}_A + 3\vec{r}_C) = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_C}{2}$

Выражение $\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_C}{2}$ задает радиус-вектор середины диагонали $AC$. Так как $\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_C}{2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_D}{2}$, эта точка также является серединой диагонали $BD$. Таким образом, центр масс параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей.

Ответ: Центр масс однородного параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей.

б) К одной из вершин параллелограмма прикрепили точечную массу, равную массе параллелограмма. Где теперь находится центр масс системы?

Пусть $M$ — масса однородного параллелограмма. Согласно пункту а), его центр масс (обозначим его $C_P$) находится в точке пересечения диагоналей $O$. Радиус-вектор этой точки: $\vec{r}_O$. Пусть к одной из вершин, например к вершине $A$ с радиус-вектором $\vec{r}_A$, прикрепили точечную массу $m$, причем $m = M$.

Мы получили систему, состоящую из двух объектов:

1. Параллелограмм, чью массу $M$ можно считать сосредоточенной в его центре масс $O$.

2. Точечная масса $m=M$, расположенная в вершине $A$.

Радиус-вектор центра масс новой системы $\vec{r}_{CM, new}$ найдем по формуле:

$\vec{r}_{CM, new} = \frac{M \cdot \vec{r}_O + m \cdot \vec{r}_A}{M + m}$

Подставим $m = M$:

$\vec{r}_{CM, new} = \frac{M \cdot \vec{r}_O + M \cdot \vec{r}_A}{M + M} = \frac{M (\vec{r}_O + \vec{r}_A)}{2M} = \frac{\vec{r}_O + \vec{r}_A}{2}$

Этот результат означает, что новый центр масс системы находится ровно посередине отрезка, соединяющего центр параллелограмма $O$ и вершину $A$, к которой была прикреплена дополнительная масса.

Если выразить это через координаты вершин, зная, что $\vec{r}_O = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_C}{2}$:

$\vec{r}_{CM, new} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_C}{2} + \vec{r}_A \right) = \frac{1}{4} (3\vec{r}_A + \vec{r}_C)$

Ответ: Новый центр масс системы будет находиться в середине отрезка, соединяющего центр параллелограмма (точку пересечения диагоналей) и ту вершину, к которой была прикреплена точечная масса.