Номер 5.7, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Точка $P$ лежит на стороне $CD$ квадрата $ABCD$, а $AK(K \in BC)$ – биссектриса угла $BAP$. Докажите, что $AP = BK + DP$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Поместим квадрат $ABCD$ в систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0)$, вершина $B$ на оси $Ox$, а вершина $D$ на оси $Oy$. Пусть сторона квадрата равна $a$.

Тогда координаты вершин будут следующими:

• $A = (0, 0)$
• $B = (a, 0)$
• $C = (a, a)$
• $D = (0, a)$

Точка $P$ лежит на стороне $CD$. Сторона $CD$ представляет собой отрезок, где $y=a$, а $x$ меняется от $0$ до $a$. Таким образом, координаты точки $P$ можно записать как $(p, a)$, где $0 \le p \le a$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$. Сторона $BC$ представляет собой отрезок, где $x=a$, а $y$ меняется от $0$ до $a$. Таким образом, координаты точки $K$ можно записать как $(a, k)$, где $0 \le k \le a$.

Теперь найдем длины отрезков, упомянутых в условии задачи:

• Длина отрезка $AP$ вычисляется по формуле расстояния между точками $A(0,0)$ и $P(p,a)$: $AP = \sqrt{(p-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{p^2+a^2}$
• Длина отрезка $DP$ вычисляется по формуле расстояния между точками $D(0,a)$ и $P(p,a)$: $DP = \sqrt{(p-0)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{p^2} = p$ (поскольку $p \ge 0$)
• Длина отрезка $BK$ вычисляется по формуле расстояния между точками $B(a,0)$ и $K(a,k)$: $BK = \sqrt{(a-a)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{k^2} = k$ (поскольку $k \ge 0$)

Нам необходимо доказать, что $AP = BK + DP$. Подставляя найденные выражения для длин, получаем задачу доказать следующее равенство:

$\sqrt{p^2+a^2} = k + p$

Теперь используем условие, что $AK$ — биссектриса угла $BAP$. В векторной форме это означает, что вектор $\vec{AK}$ сонаправлен с вектором, являющимся суммой единичных векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AP}$.

Найдем эти векторы:

• $\vec{AB} = (a-0, 0-0) = (a, 0)$
• $\vec{AP} = (p-0, a-0) = (p, a)$
• $\vec{AK} = (a-0, k-0) = (a, k)$

Найдем длины векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AP}$:

• $|\vec{AB}| = a$
• $|\vec{AP}| = \sqrt{p^2+a^2}$

Единичные векторы:

• $\vec{e}_{AB} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{(a,0)}{a} = (1, 0)$
• $\vec{e}_{AP} = \frac{\vec{AP}}{|\vec{AP}|} = \frac{(p,a)}{\sqrt{p^2+a^2}}$

Направляющий вектор биссектрисы угла $BAP$ есть $\vec{u} = \vec{e}_{AB} + \vec{e}_{AP}$. Вектор $\vec{AK}$ должен быть ему коллинеарен, то есть $\vec{AK} = c \cdot \vec{u}$ для некоторого положительного скаляра $c$.

$(a, k) = c \left( (1, 0) + \frac{(p,a)}{\sqrt{p^2+a^2}} \right) = c \left( 1 + \frac{p}{\sqrt{p^2+a^2}}, \frac{a}{\sqrt{p^2+a^2}} \right)$

Приравнивая компоненты векторов, получаем систему из двух уравнений:

1. $a = c \left( 1 + \frac{p}{\sqrt{p^2+a^2}} \right)$
2. $k = c \cdot \frac{a}{\sqrt{p^2+a^2}}$

Из второго уравнения выразим $c$:

$c = \frac{k \sqrt{p^2+a^2}}{a}$

Подставим это выражение для $c$ в первое уравнение:

$a = \frac{k \sqrt{p^2+a^2}}{a} \left( 1 + \frac{p}{\sqrt{p^2+a^2}} \right)$

Раскроем скобки в правой части:

$a = \frac{k}{a} \left( \sqrt{p^2+a^2} + p \right)$

Умножим обе части на $a$:

$a^2 = k(\sqrt{p^2+a^2} + p)$

Мы получили соотношение между $p$, $k$ и $a$, которое следует из условия о биссектрисе. Теперь покажем, что это соотношение эквивалентно тому, что мы хотим доказать, а именно $\sqrt{p^2+a^2} = p+k$.

Возведем доказываемое равенство в квадрат:

$(\sqrt{p^2+a^2})^2 = (p+k)^2$

$p^2+a^2 = p^2+2pk+k^2$

$a^2 = 2pk+k^2$

Теперь вернемся к соотношению, полученному из условия о биссектрисе: $a^2 = k(\sqrt{p^2+a^2} + p)$. Подставим в него $a^2 = 2pk+k^2$:

$2pk+k^2 = k(\sqrt{p^2+a^2} + p)$

Поскольку точка $K$ может не совпадать с $B$, то $k \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $k$:

$2p+k = \sqrt{p^2+a^2} + p$

$p+k = \sqrt{p^2+a^2}$

Это и есть то равенство, которое мы хотели доказать.

Таким образом, мы показали, что условие о биссектрисе приводит к равенству, которое эквивалентно доказываемому утверждению. Следовательно, утверждение задачи верно.

Ответ: Доказано, что $AP = BK + DP$.