Номер 5.8, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. Отрезки $AE$ и $BF$ – высоты равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Найдите косинус угла при основании, если $AE : BF = \frac{1}{2}$.

5.8. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что боковые стороны равны, $AB = BC$, и углы при основании равны, $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим искомый угол при основании через $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

В треугольнике проведены высоты $AE$ к боковой стороне $BC$ и $BF$ к основанию $AC$. По определению высоты, $AE \perp BC$ и $BF \perp AC$. По условию задачи дано соотношение длин этих высот: $\frac{AE}{BF} = \frac{1}{2}$.

Площадь треугольника $ABC$ (обозначим её $S$) можно выразить двумя способами, используя данные высоты:

1. Через основание $AC$ и высоту $BF$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF$.

2. Через сторону $BC$ и высоту $AE$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE$.

Приравняем эти два выражения для площади, так как они описывают один и тот же треугольник:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE$

Умножив обе части на 2, получим:

$AC \cdot BF = BC \cdot AE$

Из этого равенства можно выразить отношение высот через стороны:

$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BC}$

Подставив в это соотношение данное в условии значение $\frac{AE}{BF} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что боковая сторона в два раза длиннее основания: $BC = 2AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB = BC = 2AC$.

Теперь, чтобы найти косинус угла при основании $\alpha = \angle BAC$, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BFA$ (угол $\angle BFA = 90^\circ$, так как $BF$ — высота).

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, высота $BF$ делит основание $AC$ пополам в точке $F$. Таким образом, $AF = \frac{1}{2}AC$.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике $\triangle BFA$:

$\cos(\alpha) = \cos(\angle BAF) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AF}{AB}$

Мы уже установили, что $AF = \frac{1}{2}AC$ и $AB = 2AC$. Подставим эти выражения в формулу для косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{\frac{1}{2}AC}{2AC} = \frac{1 \cdot AC}{2 \cdot 2AC} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$