Номер 5.14, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. В треугольнике $ABC$ медиана $MB$ равна стороне $AC$. На продолжении сторон $BA$ и $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD = AB$, $CE = CM$. Докажите, что $DM \perp BE$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выберем точку $M$ в качестве начала координат, тогда вектор $\vec{M} = \vec{0}$.

Поскольку $MB$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$. В векторной форме это записывается как $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$. Так как $\vec{M} = \vec{0}$, то $\vec{A} + \vec{C} = \vec{0}$, откуда $\vec{C} = -\vec{A}$. Обозначим вектор $\vec{A}$ как $\vec{a}$, тогда $\vec{C} = -\vec{a}$.

Пусть вектору $\vec{B}$ соответствует вектор $\vec{b}$.

Из условия задачи известно, что $MB = AC$. Выразим это равенство в векторах. Длина отрезка $MB$ равна модулю вектора $\vec{MB} = \vec{B} - \vec{M} = \vec{b} - \vec{0} = \vec{b}$. Длина отрезка $AC$ равна модулю вектора $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -\vec{a} - \vec{a} = -2\vec{a}$. Таким образом, условие $MB = AC$ дает нам соотношение между модулями векторов: $|\vec{b}| = |-2\vec{a}| = 2|\vec{a}|$.

Теперь определим векторы, соответствующие точкам $D$ и $E$. Точка $D$ находится на продолжении стороны $BA$ за точку $A$, и при этом $AD = AB$. Это означает, что точка $A$ является серединой отрезка $DB$. Следовательно, $\vec{A} = \frac{\vec{D} + \vec{B}}{2}$. Подставив известные векторы, получаем $\vec{a} = \frac{\vec{D} + \vec{b}}{2}$, откуда находим $\vec{D} = 2\vec{a} - \vec{b}$.

Точка $E$ находится на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, и при этом $CE = CM$. Найдем длину $CM$: $CM = |\vec{M} - \vec{C}| = |\vec{0} - (-\vec{a})| = |\vec{a}|$. Значит, $CE = |\vec{a}|$. Вектор $\vec{CE}$ сонаправлен вектору $\vec{AC} = -2\vec{a}$, так как точка $E$ лежит на продолжении $AC$ за точку $C$. Это значит, что $\vec{E} - \vec{C} = k \cdot \vec{AC}$ для некоторого положительного числа $k$. Модуль этого вектора равен $|\vec{E} - \vec{C}| = |k \cdot (-2\vec{a})| = 2k|\vec{a}|$. Так как $CE = |\vec{a}|$, имеем $2k|\vec{a}| = |\vec{a}|$, откуда $k = \frac{1}{2}$. Итак, $\vec{E} - \vec{C} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(-2\vec{a}) = -\vec{a}$. Выразим вектор $\vec{E}$: $\vec{E} = \vec{C} - \vec{a} = -\vec{a} - \vec{a} = -2\vec{a}$.

Для доказательства перпендикулярности прямых $DM$ и $BE$ необходимо показать, что скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{BE}$ равно нулю.

Найдем эти векторы:$\vec{DM} = \vec{M} - \vec{D} = \vec{0} - (2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} - 2\vec{a}$.$\vec{BE} = \vec{E} - \vec{B} = -2\vec{a} - \vec{b}$.

Вычислим их скалярное произведение:$\vec{DM} \cdot \vec{BE} = (\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot (-2\vec{a} - \vec{b}) = -(\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot (\vec{b} + 2\vec{a})$.Применяя формулу разности квадратов $|X|^2-|Y|^2 = (X-Y) \cdot (X+Y)$ для скалярного произведения, получаем:$\vec{DM} \cdot \vec{BE} = -(|\vec{b}|^2 - |2\vec{a}|^2) = -(|\vec{b}|^2 - 4|\vec{a}|^2)$.

Воспользуемся соотношением, полученным из условия $MB = AC$: $|\vec{b}| = 2|\vec{a}|$. Возведя обе части в квадрат, имеем $|\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2$.

Подставим это в выражение для скалярного произведения:$\vec{DM} \cdot \vec{BE} = -(4|\vec{a}|^2 - 4|\vec{a}|^2) = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{BE}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $DM$ и $BE$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.