Номер 5.9, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Высота трапеции равна 2 см, а большее основание – 3 см. Найдите меньшее основание.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, у которой основаниями являются $AD$ и $BC$, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Обозначим длины оснований как $a = AD$ (большее основание) и $b = BC$ (меньшее основание), а высоту как $h = AB$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Высота $h = AB = 2$ см.
• Большее основание $a = AD = 3$ см.
• Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Для решения задачи докажем и используем свойство прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

Доказательство свойства:

Выполним дополнительное построение. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$. Эта прямая пересечет продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $BCED$. По построению $CE \parallel BD$. Так как $BC$ и $AD$ (а значит, и $DE$) являются основаниями трапеции, то $BC \parallel DE$. Следовательно, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что $DE = BC = b$ и $CE = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. По условию задачи диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как мы построили $CE \parallel BD$, то из этого следует, что $AC \perp CE$. Это означает, что угол $\angle ACE = 90^\circ$, и, следовательно, треугольник $ACE$ является прямоугольным.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на прямую $AE$. Поскольку $CH$ является перпендикуляром между параллельными прямыми $BC$ и $AE$, ее длина равна высоте трапеции: $CH = h$. В прямоугольном треугольнике $ACE$ отрезок $CH$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу $AE$.

Гипотенуза $AE$ состоит из двух отрезков: $AD$ и $DE$. Ее длина равна $AE = AD + DE = a + b$.Высота $CH$ делит гипотенузу $AE$ на отрезки $AH$ и $HE$.В прямоугольной трапеции $ABCD$ четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому $AH = BC = b$.Тогда длина второго отрезка $HE = AE - AH = (a+b) - b = a$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу. Для $\triangle ACE$ это свойство записывается как:$CH^2 = AH \cdot HE$

Подставляя наши обозначения, получаем важное свойство для прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями:$h^2 = b \cdot a$

Решение задачи:

Теперь мы можем использовать доказанное свойство для нахождения длины меньшего основания $b$. Подставим в формулу $h^2 = ab$ известные значения $h = 2$ см и $a = 3$ см:$2^2 = b \cdot 3$$4 = 3b$$b = \frac{4}{3}$

Таким образом, длина меньшего основания трапеции равна $\frac{4}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4}{3}$ см.