Номер 5.4, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. Медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Точки $P$ и $Q$ – середины отрезков $AO$ и $BO$ соответственно. Докажите, что $A_1B_1PQ$ является параллелограммом.

Пусть дан треугольник $ABC$. $AA_1$ и $BB_1$ – его медианы, которые по условию пересекаются в точке $O$. По определению медианы, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, а точка $B_1$ – серединой стороны $AC$. По условию, точка $P$ – середина отрезка $AO$, а точка $Q$ – середина отрезка $BO$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1PQ$. Его диагоналями являются отрезки $A_1P$ и $B_1Q$. Чтобы доказать, что $A_1B_1PQ$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Известно свойство точки пересечения медиан треугольника: медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины.

Для медианы $AA_1$ это свойство записывается как $AO:OA_1 = 2:1$, из чего следует, что $AO = 2 \cdot OA_1$.Так как по условию $P$ – середина отрезка $AO$, то $PO = \frac{1}{2}AO$. Подставим в это равенство выражение для $AO$:$PO = \frac{1}{2}(2 \cdot OA_1) = OA_1$.Поскольку точки $P$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой (на медиане $AA_1$) и длины отрезков $PO$ и $OA_1$ равны, точка $O$ является серединой диагонали $A_1P$.

Аналогично для медианы $BB_1$: свойство записывается как $BO:OB_1 = 2:1$, из чего следует, что $BO = 2 \cdot OB_1$.Так как по условию $Q$ – середина отрезка $BO$, то $QO = \frac{1}{2}BO$. Подставим в это равенство выражение для $BO$:$QO = \frac{1}{2}(2 \cdot OB_1) = OB_1$.Поскольку точки $Q$, $O$ и $B_1$ лежат на одной прямой (на медиане $BB_1$) и длины отрезков $QO$ и $OB_1$ равны, точка $O$ является серединой диагонали $B_1Q$.

Таким образом, диагонали $A_1P$ и $B_1Q$ четырехугольника $A_1B_1PQ$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1B_1PQ$ является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.