Номер 5.1, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Разделите треугольник на три равновеликие части двумя прямыми, проходящими через одну вершину.

5.1. Чтобы разделить треугольник на три равновеликие части (то есть части с равными площадями) двумя прямыми, проходящими через одну вершину, необходимо выполнить следующие действия:

1. Рассмотрим произвольный треугольник, назовем его $\triangle ABC$. Пусть его площадь равна $S$. Нам нужно разделить его на три части, площадь каждой из которых будет равна $\frac{S}{3}$.

2. Выберем одну из вершин, через которую будут проходить две разделяющие прямые. Пусть это будет вершина $A$. Противоположной стороной является сторона $BC$.

3. Две прямые, выходящие из вершины $A$, пересекут противоположную сторону $BC$ в двух точках. Обозначим эти точки как $D$ и $E$. Таким образом, исходный треугольник $\triangle ABC$ будет разделен на три меньших треугольника: $\triangle ABD$, $\triangle ADE$ и $\triangle AEC$.

4. Вспомним формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

5. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Эта высота $AH$ будет общей для всех трех образовавшихся треугольников ($\triangle ABD$, $\triangle ADE$, $\triangle AEC$), если в качестве их оснований рассматривать отрезки $BD$, $DE$ и $EC$, лежащие на прямой $BC$.

6. Запишем площади этих трех треугольников:

• Площадь $\triangle ABD$ равна $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$.
• Площадь $\triangle ADE$ равна $S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot AH$.
• Площадь $\triangle AEC$ равна $S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot AH$.

7. По условию задачи, площади этих трех треугольников должны быть равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADE} = S_{\triangle AEC}$

Подставим выражения для площадей:

$\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot AH$

8. Так как множители $\frac{1}{2}$ и $AH$ (высота не может быть равна нулю для невырожденного треугольника) являются общими для всех трех частей равенства, мы можем на них сократить. В результате получаем:

$BD = DE = EC$

Это означает, что основания трех треугольников должны быть равны по длине. Точки $D$ и $E$ должны делить сторону $BC$ на три равных отрезка.

Таким образом, для решения задачи нужно разделить сторону, противоположную выбранной вершине, на три равные части и соединить точки деления с этой вершиной.

Ответ: Необходимо выбрать одну из вершин треугольника. Противоположную ей сторону следует разделить на три равных по длине отрезка. Затем нужно соединить точки деления с выбранной вершиной. Две полученные прямые разделят исходный треугольник на три равновеликие части.