Номер 4.53, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Уравнения прямой и окружности. Раздел 4. Прямоугольная система координат на плоскости - номер 4.53, страница 100.

Учебник rus.

4.53. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку A(1; 4), с центром, лежащим на оси $O_x$, и радиусом, равным 5.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности лежит на оси $Ox$. Это означает, что ордината центра $y_0$ равна 0. Таким образом, центр окружности — это точка $C(x_0; 0)$.

Радиус окружности, согласно условию, равен $R = 5$.

Подставим известные значения $y_0 = 0$ и $R = 5$ в общее уравнение окружности:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$

Также известно, что окружность проходит через точку $A(1; 4)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = 1$ и $y = 4$ в полученное уравнение, чтобы найти абсциссу центра $x_0$:

$(1 - x_0)^2 + 4^2 = 25$

$(1 - x_0)^2 + 16 = 25$

Выразим $(1 - x_0)^2$:

$(1 - x_0)^2 = 25 - 16$

$(1 - x_0)^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для выражения $(1 - x_0)$:

1) $1 - x_0 = 3$

$x_0 = 1 - 3 = -2$

В этом случае центр окружности находится в точке $C_1(-2; 0)$, и уравнение окружности будет:

$(x - (-2))^2 + y^2 = 25$

$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

2) $1 - x_0 = -3$

$x_0 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$

В этом случае центр окружности находится в точке $C_2(4; 0)$, и уравнение окружности будет:

$(x - 4)^2 + y^2 = 25$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две окружности.

Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ и $(x - 4)^2 + y^2 = 25$.