Номер 4.49, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Напишите уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), про-ходящей через начало координат.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности находится в точке с координатами $(-3; 4)$. Следовательно, $x_0 = -3$ и $y_0 = 4$.

Подставим координаты центра в уравнение окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = R^2$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = R^2$

Так как окружность проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$, то ее радиус $R$ будет равен расстоянию от центра окружности $(-3; 4)$ до начала координат $(0; 0)$.

Вычислим квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между этими двумя точками. Это позволяет избежать вычисления квадратного корня и сразу получить значение для уравнения.

$R^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

$R^2 = (0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение окружности:

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$