Номер 4.44, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Уравнения прямой и окружности. Раздел 4. Прямоугольная система координат на плоскости - номер 4.44, страница 99.

Учебник rus.

4.44. Докажите, что прямые, заданные уравнениями $x + 2y = 3$, $2x - y = 1$ и $3x + y = 4$, пересекаются в одной точке.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Чтобы доказать, что три прямые пересекаются в одной точке, необходимо найти точку пересечения любых двух из этих прямых, а затем проверить, принадлежит ли найденная точка третьей прямой.

Нам даны уравнения трех прямых:
1) $x + 2y = 3$
2) $2x - y = 1$
3) $3x + y = 4$

Найдем точку пересечения первых двух прямых.

Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений первой и второй прямых:$$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$Из второго уравнения системы выразим $y$:$$ -y = 1 - 2x $$$$ y = 2x - 1 $$Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$$ x + 2(2x - 1) = 3 $$Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:$$ x + 4x - 2 = 3 $$$$ 5x = 5 $$$$ x = 1 $$Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в выражение $y = 2x - 1$:$$ y = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $$Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1, 1)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(1, 1)$ третьей прямой.

Уравнение третьей прямой: $3x + y = 4$.Подставим в это уравнение координаты найденной точки $x = 1$ и $y = 1$:$$ 3(1) + 1 = 4 $$$$ 3 + 1 = 4 $$$$ 4 = 4 $$Получено верное равенство. Это означает, что точка $(1, 1)$ также лежит и на третьей прямой.

Поскольку точка $(1, 1)$ является общей для всех трех прямых, это доказывает, что они пересекаются в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано. Все три прямые пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$.