Номер 4.40, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. Постройте графики окружностей, определите их радиусы, координаты их центров, если заданы их уравнения:

1) $x^2 + y^2 = 9;$

2) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4;$

3) $(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 25;$

4) $(x - 1)^2 + y^2 = 4;$

5) $x^2 + (y + 2)^2 = 2;$

6) $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 3.$

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Чтобы определить центр и радиус для каждой из заданных окружностей, мы приведем их уравнения к этому стандартному виду.

Данное уравнение можно переписать в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Сравнивая это уравнение с общим видом, мы видим, что координаты центра окружности $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Таким образом, центр находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Квадрат радиуса $R^2 = 9$, следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$. Для построения графика необходимо начертить окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

Ответ: Центр $(0, 0)$, радиус $R = 3$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$. Отсюда находим координаты центра: $x_0 = 1$ и $y_0 = -2$. Центр окружности — точка $(1, -2)$. Квадрат радиуса $R^2 = 4$, значит, радиус $R = \sqrt{4} = 2$. График представляет собой окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом 2.

Ответ: Центр $(1, -2)$, радиус $R = 2$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - (-5))^2 + (y - 3)^2 = 5^2$. Координаты центра: $x_0 = -5$ и $y_0 = 3$. Центр — точка $(-5, 3)$. Квадрат радиуса $R^2 = 25$, значит, радиус $R = \sqrt{25} = 5$. График — это окружность с центром в точке $(-5, 3)$ и радиусом 5.

Ответ: Центр $(-5, 3)$, радиус $R = 5$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$. Координаты центра: $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Центр — точка $(1, 0)$. Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$. График представляет собой окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 2.

Ответ: Центр $(1, 0)$, радиус $R = 2$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = (\sqrt{2})^2$. Координаты центра: $x_0 = 0$ и $y_0 = -2$. Центр — точка $(0, -2)$. Квадрат радиуса $R^2 = 2$, значит, радиус $R = \sqrt{2}$. График — это окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $\sqrt{2}$ (приблизительно 1.41).

Ответ: Центр $(0, -2)$, радиус $R = \sqrt{2}$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $(x - (-2))^2 + (y - (-3))^2 = (\sqrt{3})^2$. Координаты центра: $x_0 = -2$ и $y_0 = -3$. Центр — точка $(-2, -3)$. Квадрат радиуса $R^2 = 3$, значит, радиус $R = \sqrt{3}$. График представляет собой окружность с центром в точке $(-2, -3)$ и радиусом $\sqrt{3}$ (приблизительно 1.73).

Ответ: Центр $(-2, -3)$, радиус $R = \sqrt{3}$.