Номер 4.42, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42. Треугольник ABC задан координатами своих вершин A(4; 6), B(-4; 0), C(-1; -4). Напишите уравнение медианы, проведенной из вершины А.

Медиана треугольника, проведенная из вершины A, соединяет эту вершину с серединой противолежащей стороны BC. Обозначим середину стороны BC как точку M.

1. Нахождение координат середины стороны BC

Координаты точки $M(x_M; y_M)$, являющейся серединой отрезка с концами в точках $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим известные координаты вершин $B(-4; 0)$ и $C(-1; -4)$:

$x_M = \frac{-4 + (-1)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$

$y_M = \frac{0 + (-4)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, середина стороны BC, точка M, имеет координаты $(-2.5; -2)$.

2. Составление уравнения медианы AM

Теперь необходимо найти уравнение прямой, которая проходит через две точки: вершину $A(4; 6)$ и середину противолежащей стороны $M(-2.5; -2)$.

Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A и M в эту формулу:

$\frac{x - 4}{-2.5 - 4} = \frac{y - 6}{-2 - 6}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x - 4}{-6.5} = \frac{y - 6}{-8}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$-8(x - 4) = -6.5(y - 6)$

Чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательных знаков, умножим обе части уравнения на $-2$:

$16(x - 4) = 13(y - 6)$

Раскроем скобки:

$16x - 64 = 13y - 78$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, перенеся все слагаемые в левую часть:

$16x - 13y - 64 + 78 = 0$

$16x - 13y + 14 = 0$

Ответ: $16x - 13y + 14 = 0$