Номер 4.50, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. Найдите координаты центра и радиус окружностей, заданных следующими уравнениями:

1) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25;$
2) $x^2 + (y + 7)^2 = 1;$
3) $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0;$
4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0;$
5) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0;$
6) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0.$

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Чтобы найти центр и радиус для каждого случая, мы либо напрямую сравниваем данное уравнение с каноническим, либо приводим его к этому виду методом выделения полного квадрата.

1) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Это уравнение уже находится в каноническом виде. Перепишем его для наглядности: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.

Сравнивая с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, получаем:

Координаты центра: $a = 1$, $b = -2$.

Радиус: $R^2 = 25$, значит $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Координаты центра $(1, -2)$, радиус $5$.

2) $x^2 + (y + 7)^2 = 1$

Это уравнение также находится в каноническом виде. Перепишем его для наглядности: $(x - 0)^2 + (y - (-7))^2 = 1^2$.

Сравнивая с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, получаем:

Координаты центра: $a = 0$, $b = -7$.

Радиус: $R^2 = 1$, значит $R = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: Координаты центра $(0, -7)$, радиус $1$.

3) $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем члены: $(x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 16 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + 8x = (x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2) - 4^2 = (x + 4)^2 - 16$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 - 4y = (y^2 - 2 \cdot 2 \cdot y + 2^2) - 2^2 = (y - 2)^2 - 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x + 4)^2 - 16) + ((y - 2)^2 - 4) + 16 = 0$

$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0$

$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 2^2$.

Координаты центра: $(-4, 2)$.

Радиус: $R = 2$.

Ответ: Координаты центра $(-4, 2)$, радиус $2$.

4) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 20 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot 2 \cdot y + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) - 20 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.

Координаты центра: $(1, -2)$.

Радиус: $R = 5$.

Ответ: Координаты центра $(1, -2)$, радиус $5$.

5) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены: $(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot 1 \cdot y + 1^2) - 1^2 = (y - 1)^2 - 1$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + ((y - 1)^2 - 1) + 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$.

Координаты центра: $(2, 1)$.

Радиус: $R = 2$.

Ответ: Координаты центра $(2, 1)$, радиус $2$.

6) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$

Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$.

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 6x = (x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2) - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot 2 \cdot y + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$((x - 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 9 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

Теперь уравнение в каноническом виде: $(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$.

Координаты центра: $(3, -2)$.

Радиус: $R = 3$.

Ответ: Координаты центра $(3, -2)$, радиус $3$.