Номер 4.54, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки A(3; 0), B(-1; 2), с центром, лежащим на прямой $y = x + 2$.

4.54. Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

По условию, центр окружности $(x_0, y_0)$ лежит на прямой $y = x + 2$. Следовательно, координаты центра связаны соотношением: $y_0 = x_0 + 2$.

Так как окружность проходит через точки $A(3; 0)$ и $B(-1; 2)$, эти точки равноудалены от центра. Квадрат расстояния от центра до любой из этих точек равен квадрату радиуса $R^2$. Запишем выражения для квадрата радиуса, используя координаты точек $A$ и $B$:
$R^2 = (3 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2$
$R^2 = (-1 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2$

Приравняем правые части этих уравнений, так как они обе равны $R^2$:
$(3 - x_0)^2 + y_0^2 = (-1 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $y_0$ из уравнения прямой, то есть $y_0 = x_0 + 2$:
$(3 - x_0)^2 + (x_0 + 2)^2 = (-1 - x_0)^2 + (2 - (x_0 + 2))^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x_0$:
$(9 - 6x_0 + x_0^2) + (x_0^2 + 4x_0 + 4) = (1 + 2x_0 + x_0^2) + (2 - x_0 - 2)^2$
$2x_0^2 - 2x_0 + 13 = (1 + 2x_0 + x_0^2) + (-x_0)^2$
$2x_0^2 - 2x_0 + 13 = 1 + 2x_0 + x_0^2 + x_0^2$
$2x_0^2 - 2x_0 + 13 = 2x_0^2 + 2x_0 + 1$
Приведем подобные члены:
$-2x_0 - 2x_0 = 1 - 13$
$-4x_0 = -12$
$x_0 = 3$

Теперь найдем координату $y_0$ центра:
$y_0 = x_0 + 2 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, центр окружности находится в точке $C(3; 5)$.

Осталось найти квадрат радиуса $R^2$. Подставим координаты центра $C(3; 5)$ и, например, точки $A(3; 0)$ в уравнение для $R^2$:
$R^2 = (3 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$

Итак, мы нашли все параметры: центр $(3; 5)$ и квадрат радиуса $R^2 = 25$. Запишем итоговое уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$.